O número de acessos diários a um site, em milhões, após t meses, segue a função: N(t)=A * 2^t+B * 5^t onde A e B são constantes a serem determinadas. Os valores conhecidos são:
No instante t=0, o número de acessos era 6 milhões. Após 1 mês ( t=1 ), o número de acessos era 16 milhões. Após 2 meses ( t=2 ), o número de acessos era 46 milhões.
a) Determine as constantes usando sistema de equações.
b) Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema nos apresenta. Temos uma função que descreve o número de acessos diários a um site, dada por:
onde e são constantes que precisamos determinar. Sabemos que:
No tempo , milhões.
No tempo , milhões.
No tempo , milhões.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e sistemas de equações.
Passo 2
Vamos usar o primeiro valor conhecido, quando :
Como qualquer número elevado a zero é 1, temos:
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 3
Agora, vamos usar o valor quando :
Calculando as potências:
Essa é a segunda equação do nosso sistema.
Passo 4
Temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos expressar A em termos de B a partir da primeira equação:
A = 6 - B
Substituindo esse valor na segunda equação:
2(6 - B) + 5B = 16
Distribuindo o 2:
12 - 2B + 5B = 16
Simplificando:
3B = 4
Assim, encontramos:
B = 43
Passo 5
Com o valor de B encontrado, podemos substituir na expressão de A :
A = 6 - 43
Calculando:
A = 183 - 43 = 143
Passo 6
Agora que temos os valores de A e B , a função fica:
N(t) = 143 cdot 2^t + 43 cdot 5^t
Para esboçar o gráfico dessa função, observe o comportamento de cada termo:
O termo 2^t cresce exponencialmente.
O termo 5^t cresce ainda mais rápido devido à base maior.
Portanto, para valores maiores de t , o termo 5^t dominará o crescimento da função. O gráfico começará em N(0) = 6 milhões e crescerá rapidamente à medida que t aumenta.
Resposta
As constantes que determinam a função são:
A = 143 e B = 43
O gráfico da função N(t) = 143 cdot 2^t + 43 cdot 5^t é uma curva exponencial crescente que inicia em 6 milhões de acessos no tempo t = 0 e cresce rapidamente, principalmente devido ao termo 5^t .