Esboce o domínio, as curvas de nível e o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para “esboçar” três coisas de
- o domínio de definição;
- as curvas de nível;
- o gráfico da superfície em
.
Vamos tratar cada item em separado.
Passo 2
Domínio de
.
A função exponencial está definida para todo
. No nosso caso
, que também é bem definido para qualquer par
.
Portanto
A função exponencial
Portanto
Passo 3
Curvas de nível de
.
Uma curva de nível para o valor é o conjunto
Uma curva de nível para o valor
Tomando logaritmo natural, isso vira
Para existir solução precisamos de
. Logo cada nível
é a circunferência de raio
centrada na origem. Exemplos:
- Se
, então , a curva de nível é o ponto . - Se
, então , é a circunferência de raio . - Se
, então , é a circunferência de raio .
Passo 4
Gráfico da superfície
.
Em coordenadas polares temos
Em coordenadas polares
Isso define uma superfície de revolução em torno do eixo
, com valor mínimo em
, onde
. À medida que
cresce,
cresce muito rapidamente (mais que um paraboloide). O perfil em qualquer plano que passe pela origem é a curva
, que parte de
e sobe exponencialmente para frente e para trás.
Resposta
Domínio:
.
Curvas de nível: para cada ,
Curvas de nível: para cada
ou seja, círculos centrados na origem de raio
.
Gráfico: superfície de revolução , com mínimo em
e crescimento exponencial radial.
Gráfico: superfície de revolução