Esboce o domínio, as curvas de nível e o gráfico das funções abaixo.
f(x, y)=e^x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para “esboçar” três coisas de
f(x,y)=e^x^2+y^2colon R^2to(0,infty):
  1. o domínio de definição;
  2. as curvas de nível;
  3. o gráfico da superfície em R^3.
    Vamos tratar cada item em separado.

Passo 2

Domínio de f.
A função exponencial e^u está definida para todo uinR. No nosso caso u=x^2+y^2, que também é bem definido para qualquer par (x,y)inR^2.
Portanto
Domínio(f)=(x,y)mid xinR,,yinR=R^2 í

Passo 3

Curvas de nível de f.
Uma curva de nível para o valor c é o conjunto
(x,y)mid f(x,y)=c =(x,y)mid e^x^2+y^2=c
Tomando logaritmo natural, isso vira
x^2+y^2=ln c
Para existir solução precisamos de c>0. Logo cada nível c>0 é a circunferência de raio raizln c centrada na origem. Exemplos:
  • Se c=1, então ln1=0, a curva de nível é o ponto (0,0).
  • Se c=e, então ln e=1, é a circunferência de raio 1.
  • Se c=e^4, então ln c=4, é a circunferência de raio 2.

Passo 4

Gráfico da superfície z=f(x,y)=e^x^2+y^2.
Em coordenadas polares (r,theta) temos
z=e^r^2, r>=0
Isso define uma superfície de revolução em torno do eixo z, com valor mínimo em r=0, onde z(0)=e^0=1. À medida que r cresce, z cresce muito rapidamente (mais que um paraboloide). O perfil em qualquer plano que passe pela origem é a curva z=e^r^2, que parte de (0,1) e sobe exponencialmente para frente e para trás.

Resposta

Domínio: R^2.
Curvas de nível: para cada c>0,
x^2+y^2=ln c,
ou seja, círculos centrados na origem de raio raizln c.
Gráfico: superfície de revolução z=e^x^2+y^2, com mínimo em (0,0,1) e crescimento exponencial radial.

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