Esboce o domínio, as curvas de nível e o gráfico das funções abaixo.
f(x, y)=raiz4 y^2+x^2

Passo 1

O enunciado pede para ( 1) determinar o domínio de
f(x,y)=raiz4y^2+x^2,
( 2) esboçar as curvas de nível dadas por
raiz4y^2+x^2=c,;c>=0,
e ( 3) descrever o gráfico de z=f(x,y). Vamos usar teoria de domínio de funções com radicais, de curvas de nível (níveis de uma função) e reconhecer que a equação do gráfico pode ser escrita como uma superfície de segundo grau.

Passo 2

Dentro da raiz temos 4y^2+x^2, que é sempre não-negativo para todo (x,y)inR^2. Logo o domínio é
D = (x,y)inR^2mid 4y^2+x^2>=0 = R^2

Passo 3

As curvas de nível de nível c satisfazem
raiz4y^2+x^2 = c Long<=ftrightarrow 4y^2+x^2=c^2
Para c=0 só temos o ponto (0,0). Para c>0, isto é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em x de comprimento c e semi-eixo em y de comprimento c/2. Em coordenadas escalonadas:
x^2c^2+y^2(c/2)^2=1

Passo 4

No espaço (x,y,z), o gráfico satisfaz
z = raiz4y^2+x^2 Long<=ftrightarrow z^2 = x^2+4y^2, z>=0
Isso é um cone elíptico de uma nappe voltado para cima. As seções em planos principais são:
  • Para y=0, z=|x|.
  • Para x=0, z=2|y|.
    Portanto obtemos um cone com abertura diferente nas direções x e y.

Resposta

Domínio: R^2.
Curvas de nível: elipses 4y^2+x^2=c^2, c>=0.
Gráfico: superfície dada por z^2=x^2+4y^2, z>=0 (cone elíptico voltado para cima).

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