Esboce o domínio de f(x, y).
f(x, y)=\frac{6 x+2 y}{x^{2}+y^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede: "Esboce o domínio de f(x,y)".
A função dada é
f(x,y)=\frac{6x+2y}{x^{2}+y^{2}-9}.
Informações relevantes fornecidas: o numerador é 6x+2y e o denominador é x^{2}+y^{2}-9. O que define restrições ao domínio são valores de (x,y) que tornam o denominador igual a zero.

Passo 2

Regra básica (passo-a-passo do que procurar): para funções racionais de duas variáveis como esta, o domínio são todos os pares (x,y) para os quais o denominador é diferente de zero. Ou seja, precisamos resolver a condição
x^{2}+y^{2}-9 \neq 0.

Passo 3

Identificamos os pontos que tornam o denominador zero resolvendo a igualdade
x^{2}+y^{2}-9=0.
Rearranjando,
x^{2}+y^{2}=9.
Esta é a equação de uma circunferência no plano com centro na origem e raio 3 (porque 9=3^{2}).

Passo 4

Conclusão lógica: todos os pontos (x,y) que pertencem à circunferência x^{2}+y^{2}=9 são proibidos (pois aí o denominador zera). Todos os outros pontos do plano são permitidos, já que o numerador 6x+2y é um polinômio definido para todo (x,y). Portanto o domínio é o plano \mathbb{R}^{2} sem a circunferência de raio 3.

Passo 5

Escrevendo o domínio em notação de conjuntos:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq 9\}.

Passo 6

Como esboçar graficamente (passo a passo prático para a prova): desenhe o sistema de eixos x e y, marque o centro em (0,0), trace uma circunferência de raio 3 centrada na origem. Como essa circunferência está excluída do domínio, represente-a com uma linha tracejada ou com a borda desenhada e sem preenchimento. Tanto o interior da circunferência ( x^{2}+y^{2}<9) quanto a região externa ( x^{2}+y^{2}>9) fazem parte do domínio — ou seja, o plano inteiro exceto a circunferência.

Passo 7

Observações úteis para a prova e intuição: em coordenadas polares, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, o denominador fica r^{2}-9, então a única restrição é r\neq 3. Isso confirma que para todo ângulo \theta qualquer raio exceto r=3 é permitido. Ao se aproximar da circunferência r=3 o valor de f tende a \pm\infty dependendo do sinal do numerador — por isso a circunferência atua como uma “barreira” do tipo assíntota.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq 9\}

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