Esboce o domínio de
.
Passo 1
O enunciado pede: "Esboce o domínio de
".
A função dada é
A função dada é
Informações relevantes fornecidas: o numerador é
e o denominador é
. O que define restrições ao domínio são valores de
que tornam o denominador igual a zero.
Passo 2
Regra básica (passo-a-passo do que procurar): para funções racionais de duas variáveis como esta, o domínio são todos os pares
para os quais o denominador é diferente de zero. Ou seja, precisamos resolver a condição
Passo 3
Identificamos os pontos que tornam o denominador zero resolvendo a igualdade
Rearranjando,
Esta é a equação de uma circunferência no plano com centro na origem e raio
(porque
).
Passo 4
Conclusão lógica: todos os pontos
que pertencem à circunferência
são proibidos (pois aí o denominador zera). Todos os outros pontos do plano são permitidos, já que o numerador
é um polinômio definido para todo
. Portanto o domínio é o plano
sem a circunferência de raio
.
Passo 5
Escrevendo o domínio em notação de conjuntos:
Passo 6
Como esboçar graficamente (passo a passo prático para a prova): desenhe o sistema de eixos
e
, marque o centro em
, trace uma circunferência de raio
centrada na origem. Como essa circunferência está excluída do domínio, represente-a com uma linha tracejada ou com a borda desenhada e sem preenchimento. Tanto o interior da circunferência (
) quanto a região externa (
) fazem parte do domínio — ou seja, o plano inteiro exceto a circunferência.
Passo 7
Observações úteis para a prova e intuição: em coordenadas polares,
,
, o denominador fica
, então a única restrição é
. Isso confirma que para todo ângulo
qualquer raio exceto
é permitido. Ao se aproximar da circunferência
o valor de
tende a
dependendo do sinal do numerador — por isso a circunferência atua como uma “barreira” do tipo assíntota.