Esboce o domínio das funções a seguir, especifique os pontos do domínio que são pontos interiores, e determine em quais pontos interiores ao domínio a função é descontínua.
f(x, y)=arcsin (y / x)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o domínio de f(x,y)=arcsin(y/x), identificando os pontos interiores e verificando onde f é descontínua no interior. Para ter arcsin(y/x) bem definido precisamos de duas condições: a razão y/x estar entre –1 e 1, e x≠0 (para não dividir por zero). Isso dá a desigualdade
-1 <= yx <= 1, x neq 0
Dependendo do sinal de x, ao multiplicar a desigualdade por x temos dois casos:
$$\begin{cases}x>0:;-x \le y \le x,\x<0:;x \le y \le -x.\
\end{cases}$$

Passo 2

Assim o domínio é a união desses dois “cones” fechados excluindo a reta x=0:
D=(x,y):x>0,-x<= y<= x;cup;(x,y):x<0,x<= y<= -x

Passo 3

Os pontos interiores de D são aqueles que satisfazem a desigualdade estrita – isto é, ficam estritamente entre as retas y=±x e com x≠0:
int(D)=(x,y):xneq0, -|x|

Passo 4

No interior a razão y/x pertence a (–1,1), e tanto a função de divisão (y/x) quanto o arcsin são contínuos nesse intervalo. Logo não há pontos de descontinuidade em int(D).

Resposta

Domínio: D=(x,y):x>0,-x<= y<= xcup(x,y):x<0,x<= y<= -x.
Pontos interiores: (x,y):xneq0,-|x|.
Não há descontinuidades em nenhum ponto interior de D.

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