Esboce o domínio de integração e calcule a integral.
\iint_{B} \frac{y \ln x}{x} d x d y, onde B é o retângulo 1 \leq x \leq 2,-1 \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o domínio de integração e calcular a integral dupla
\iint_{B} \frac{y \ln x}{x}\,dx\,dy,
onde B é o retângulo dado por
1 \le x \le 2,\quad -1 \le y \le 1.
O conteúdo aqui é integral dupla em domínio retangular e o uso do Teorema de Fubini para separar integrais.

Passo 2

O domínio B é um retângulo no plano xy cujos vértices são (1,-1), (2,-1), (2,1) e (1,1). Em outras palavras, é a região
\{(x,y)\mid 1\le x\le2,\,-1\le y\le1\}.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iint_{B}\frac{y\ln x}{x}\,dx\,dy =\int_{x=1}^{2}\!\!\int_{y=-1}^{1}\frac{y\ln x}{x}\,dy\,dx.

Passo 4

Note que a função se separa em fatores que dependem só de x e só de y:
\frac{y\ln x}{x} = \Bigl(\frac{\ln x}{x}\Bigr)\,y.
Então
\int_{y=-1}^{1}y\,dy = \biggl[\frac{y^{2}}{2}\biggr]_{-1}^{1} =\frac{1^{2}}{2}-\frac{(-1)^{2}}{2} =0.

Passo 5

Como a integral em y vale zero, todo o produto vale zero:
\iint_{B}\frac{y\ln x}{x}\,dx\,dy =\int_{x=1}^{2}\Bigl(\frac{\ln x}{x}\cdot 0\Bigr)\,dx =0.

Resposta

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