Esboce o domínio e inverta a ordem de integração:
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o domínio
e depois inverter a ordem de integração
O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas, e vamos precisar:
- Descrever geometricamente
. - Encontrar a projeção de
no eixo . - Para cada
fixo, resolver as desigualdades que definem para achar o intervalo de .
Passo 2
As fronteiras de
são as retas
Na linha
temos
. Em
ambas as retas dão
. Logo
é o triângulo com vértices
,
e
.
Passo 3
Projete
no eixo
. O menor
ocorre em
, o maior em
. Logo
Passo 4
Para
fixo em
,
requer simultaneamente
Da primeira desigualdade extraímos
.
Da segunda vem .
Da terceira vem
Então
Da segunda vem
Da terceira vem
Então
Passo 5
Determine onde muda qual é o mínimo:
Logo:
- Para , vale
.
- Para , vale
.
- Para
- Para
Passo 6
Podemos então inverter a ordem escrevendo a integral em dois pedaços: