Esboce o domínio e inverta a ordem de integração:
\int_{0}^{1}\left[\int_{y-1}^{2-2 y} f(x, y) d x\right] d y.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o domínio
D = \{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;y-1\le x\le2-2y\}
e depois inverter a ordem de integração
\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{y-1}^{2-2y}f(x,y)\,dx\Bigr]dy.
O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas, e vamos precisar:
  • Descrever geometricamente D.
  • Encontrar a projeção de D no eixo x.
  • Para cada x fixo, resolver as desigualdades que definem D para achar o intervalo de y.

Passo 2

As fronteiras de D são as retas
x = y-1,\quad x = 2-2y,\quad y=0,\quad y=1.
Na linha y=0 temos x\in[-1,2]. Em y=1 ambas as retas dão x=0. Logo D é o triângulo com vértices (-1,0), (2,0) e (0,1).

Passo 3

Projete D no eixo x. O menor x ocorre em (-1,0), o maior em (2,0). Logo
-1\le x\le2.

Passo 4

Para x fixo em [-1,2], (x,y)\in D requer simultaneamente
0\le y\le1,\quad y-1\le x,\quad x\le2-2y.
Da primeira desigualdade extraímos y\ge0.
Da segunda vem y\le x+1.
Da terceira vem 2-2y\ge x\iff y\le\frac{2-x}{2}.
Então
0\le y\le\min\Bigl(x+1,\;\frac{2-x}{2}\Bigr).

Passo 5

Determine onde muda qual é o mínimo:
x+1 \le \frac{2-x}{2} \;\Longleftrightarrow\; 2x+2\le2-x \;\Longleftrightarrow\; 3x\le0 \;\Longleftrightarrow\; x\le0.
Logo:
- Para -1\le x\le0, vale y\le x+1.
- Para 0\le x\le2, vale y\le\frac{2-x}{2}.

Passo 6

Podemos então inverter a ordem escrevendo a integral em dois pedaços:
\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{y-1}^{2-2y}f(x,y)\,dx\Bigr]dy =\int_{x=-1}^{0}\Bigl[\int_{y=0}^{x+1}f(x,y)\,dy\Bigr]dx +\int_{x=0}^{2}\Bigl[\int_{y=0}^{\frac{2-x}{2}}f(x,y)\,dy\Bigr]dx.

Resposta

\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{y-1}^{2-2y}f(x,y)\,dx\Bigr]dy = \int_{-1}^{0}\Bigl[\int_{0}^{\,x+1}f(x,y)\,dy\Bigr]dx \;+\; \int_{0}^{2}\Bigl[\int_{0}^{\,\frac{2-x}{2}}f(x,y)\,dy\Bigr]dx.

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