Iniciando \operatorname{com} n=1, escreva uma expressão para o n-ésimo termo das sequências:
1, \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{24}, \frac{1}{120}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos termos, iniciando em n=1, são
1,\;\frac12,\;\frac16,\;\frac1{24},\;\frac1{120},\ldots
e pede uma expressão fechada para o n-ésimo termo. O conteúdo usado aqui é o conceito de fatorial.

Passo 2

Vamos examinar os denominadores dos termos:
1 = 1!,\quad 2 = 2!,\quad 6 = 3!,\quad 24 = 4!,\quad 120 = 5!,\ldots
ou seja, o k-ésimo denominador é k!. Como o numerador de cada termo é sempre 1, o n-ésimo termo é dado por
a_{n} = \frac{1}{n!}.

Resposta

a_{n} = \frac{1}{n!}.

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