Esboce o domínio de integração e calcule a integral. \iint_{B} \frac{y^{2}}{x^{2}} d x d y, onde B é a região limitada por y=x, y=2 e x y=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\iint_{B}\frac{y^{2}}{x^{2}}\,dx\,dy
onde B é a região do plano limitada pelas curvas y=x, y=2 e xy=1. O conteúdo é mudança de ordem e escolha de limites para integrais duplas em domínios planocárticos.
Passo 2
Primeiro achamos os pontos de interseção dessas curvas:
– Entre y=x e xy=1 vem x^2=1, como y=x>0 ficamos com o ponto (1,1).
– Entre xy=1 e y=2 vem x=\tfrac1y\bigl|_{y=2}=\tfrac12, ou seja (\tfrac12,2).
– Entre y=x e y=2 está (2,2).
Assim B é o “triângulo curvo” com vértices (1,1), (\tfrac12,2) e (2,2). Para cada y em [1,2], o x varia de x=\tfrac1y (hipérbole) até x=y (reta).