Esboce o domínio de integração e calcule a integral.
\iint_{B} \frac{y^{2}}{x^{2}} d x d y, onde B é a região limitada por y=x, y=2 e x y=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{B}\frac{y^{2}}{x^{2}}\,dx\,dy
onde B é a região do plano limitada pelas curvas y=x, y=2 e xy=1. O conteúdo é mudança de ordem e escolha de limites para integrais duplas em domínios planocárticos.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção dessas curvas:
– Entre y=x e xy=1 vem x^2=1, como y=x>0 ficamos com o ponto (1,1).
– Entre xy=1 e y=2 vem x=\tfrac1y\bigl|_{y=2}=\tfrac12, ou seja (\tfrac12,2).
– Entre y=x e y=2 está (2,2).
Assim B é o “triângulo curvo” com vértices (1,1), (\tfrac12,2) e (2,2). Para cada y em [1,2], o x varia de x=\tfrac1y (hipérbole) até x=y (reta).

Passo 3

Montamos a integral na ordem dx\,dy, com
1 \le y \le 2, \qquad \tfrac1y \le x \le y,
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\iint_{B}\frac{y^{2}}{x^{2}}\,dx\,dy =\int_{y=1}^{2}\!\Bigl[\int_{x=1/y}^{y}\frac{y^{2}}{x^{2}}\,dx\Bigr] dy.

Passo 4

Calculamos a integral interna em x:
\int_{x=1/y}^{y}\frac{y^{2}}{x^{2}}\,dx =y^{2}\int_{1/y}^{y}x^{-2}\,dx =y^{2}\Bigl[-\frac{1}{x}\Bigr]_{1/y}^{y} =y^{2}\Bigl(-\tfrac1y + y\Bigr) =y^{2}\bigl(y-\tfrac1y\bigr) =y^{3}-y.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{1}^{2}(y^{3}-y)\,dy =\Bigl[\frac{y^{4}}{4}-\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2} =\Bigl(\frac{16}{4}-\frac{4}{2}\Bigr)-\Bigl(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\Bigr) =(4-2)-\bigl(\tfrac14-\tfrac24\bigr) =2-(-\tfrac14) =\frac94.

Resposta

\iint_{B}\frac{y^{2}}{x^{2}}\,dx\,dy \;=\;\frac{9}{4}.

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