Esboce o domínio e inverta a ordem de integração:
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y-1}}^{e^{y}} f(x, y) d x\right] d y.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o domínio
D = \bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\\ e^{y-1}\le x\le e^y\bigr\}
e, em seguida, trocar a ordem de integração da integral
\int_{y=0}^{1}\Bigl[\int_{x=e^{y-1}}^{e^{y}} f(x,y)\,dx\Bigr]dy.
O conteúdo principal é mudança de ordem em integrais duplas, usando a descrição do domínio em termos de inequações.

Passo 2

Descrevendo e esboçando o domínio:
  • As curvas que limitam em x são
x = e^{y-1} \quad\text{e}\quad x = e^y,
com y variando de 0 a 1.
  • Nas fronteiras horizontais temos y=0 e y=1.
    No esboço, trace as duas curvas para 0\le y\le1:
    para y=0 as abscissas são e^{-1} (esquerda) e 1 (direita),
    e para y=1 são 1 (esquerda) e e (direita).
    A região D é a “faixa” entre essas curvas, limitada acima por y=1 e abaixo por y=0.

Passo 3

Encontrar o intervalo total de x.
Como x vai de e^{y-1} até e^y e y\in[0,1], temos
x_{\min}=\min_{y\in[0,1]}e^{y-1}=e^{-1}, \qquad x_{\max}=\max_{y\in[0,1]}e^y=e.

Passo 4

Para uma abscissa fixa x, as condições
e^{y-1}\le x\le e^y\nequivalem a
y-1\le \ln x \quad\Longrightarrow\quad y\le 1+\ln x
e
\ln x\le y.
Além disso y deve satisfazer 0\le y\le1.
Assim, para cada x\in[e^{-1},e] temos
\max\{0,\ln x\}\;\le\;y\;\le\;\min\{1,\,1+\ln x\}.

Passo 5

Como os limites de y mudam qualitativamente em x=1, quebramos em dois casos:
  1. Se e^{-1}\le x\le1, então \ln x\le0 e 1+\ln x\le1, logo
0\le y\le 1+\ln x.
  1. Se 1\le x\le e, então \ln x\ge0 e 1+\ln x\ge1, logo
\ln x\le y\le1.
Portanto, invertendo a ordem, a integral fica a soma de duas:
\int_{x=e^{-1}}^{1}\Bigl[\int_{y=0}^{\,1+\ln x}f(x,y)\,dy\Bigr]dx \;+\; \int_{x=1}^{e}\Bigl[\int_{y=\ln x}^{\,1}f(x,y)\,dy\Bigr]dx.

Resposta

\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{e^{y-1}}^{e^{y}} f(x,y)\,dx\Bigr]dy = \int_{x=e^{-1}}^{1}\Bigl[\int_{y=0}^{1+\ln x}f(x,y)\,dy\Bigr]dx + \int_{x=1}^{e}\Bigl[\int_{y=\ln x}^{1}f(x,y)\,dy\Bigr]dx.

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