Esboce o domínio e inverta a ordem de integração:
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o domínio
e, em seguida, trocar a ordem de integração da integral
O conteúdo principal é mudança de ordem em integrais duplas, usando a descrição do domínio em termos de inequações.
Passo 2
Descrevendo e esboçando o domínio:
- As curvas que limitam em
são
com
variando de
a
.
- Nas fronteiras horizontais temos
e .
No esboço, trace as duas curvas para:
paraas abscissas são (esquerda) e (direita),
e parasão (esquerda) e (direita).
A regiãoé a “faixa” entre essas curvas, limitada acima por e abaixo por .
Passo 3
Encontrar o intervalo total de
.
Como vai de
até
e
, temos
Como
Passo 4
Para uma abscissa fixa
, as condições
e
Além disso
deve satisfazer
.
Assim, para cada temos
Assim, para cada
Passo 5
Como os limites de
mudam qualitativamente em
, quebramos em dois casos:
- Se
, então e , logo
- Se
, então e , logo
Portanto, invertendo a ordem, a integral fica a soma de duas: