Sejam E, F espaços vetoriais. Uma função f: E F chama-se par (respectivamente, ímpar) quando f(-v)=f(v) (respectivamente, f(-v)=-f(v)) para todo v in E. Prove:
(a) O conjunto A das funções pares e o conjunto B das funções ímpares são subespaços vetoriais de F(E ; F) e vale F(E ; F)=A oplus B.
(b) Além dos conjuntos A, dos polinômios pares e B, dos polinômios ímpares, considere também o conjunto A^prime dos polinômios da forma p(x)=sum ai x^2 i que só contêm expoentes pares e o conjunto B^prime dos polinômios da forma q(x)=sum ai x^2 i+1, que só contêm expoentes ímpares. Prove que A^prime e B^prime são subespaços vetoriais de espaço P de todos os polinômios, que A^prime subset A, B^prime subset B e P=A^prime oplus B^prime. Conclua que A=A^prime e B=B^prime.

Passo 1

O exercício trata de espaços vetoriais de funções e polinômios, mais precisamente do subespaço A (funções pares) e B (funções ímpares) dentro de F(E;F) e de A' (polinômios com expoentes pares) e B' (expoentes ímpares) dentro de P. Vamos usar a teoria de subespaços (fechamento em soma e escalar, presença do zero) e de soma direta (interseção trivial e soma total).

Passo 2

Primeiro mostraremos que A e B são subespaços de F(E;F). Note que a função zero está em ambos; a soma de duas pares é par e a de duas ímpares é ímpar; e escalar um par ou ímpar mantém a paridade. Assim, A e B satisfazem as condições de subespaço.

Passo 3

Agora verificamos que Acap B=0. Se fin Acap B, então f(-v)=f(v) e f(-v)=-f(v) para todo v, daí f(v)=0 sempre. Logo, a interseção contém só a função zero.

Passo 4

Para ver que F(E;F)=A+B, dado fcolon Eto F definimos as funções
f e(v)=tfrac12l(f(v)+f(-v)r), f o(v)=tfrac12l(f(v)-f(-v)r)

Passo 5

É fácil checar que f ein A, f oin B e f=f e+f o. Assim todo f é soma de um par e um ímpar.

Passo 6

Com isso temos F(E;F)=Aoplus B, pois a soma é total e a interseção é trivial.

Passo 7

Passando aos polinômios, mostramos analogamente que A' e B' são subespaços de P. O polinômio nulo está em ambos; a soma e a multiplicação por escalar de polinômios com só expoentes pares (ou ímpares) mantém essa característica.
Como todo polinômio em A' satisfaz p(-x)=p(x), vale A'subset A. E análogamente B'subset B.

Passo 8

Para ver P=A'+B', basta decompor qualquer p(x)=sumi=0^n ai x^i em parte par sumi parai x^iin A' e parte ímpar sumi ímparai x^iin B'í. A interseção A'cap B' é apenas o polinômio nulo.
Portanto P=A'oplus B'.

Passo 9

Por fim, se pin A (polinômio par), então p(-x)=p(x) força todos os coeficientes de termos de grau ímpar a serem zero, logo pin A'. Assim Asubset A'; como já tínhamos A'subset A, vem A=A'. O mesmo argumento dá B=B'.

Resposta

As afirmações de (a) e (b) são verdadeiras: A e B são subespaços de F(E;F) e F(E;F)=Aoplus B; A' e B' são subespaços de P com A'subset A, B'subset B e P=A'oplus B', de onde segue A=A' e B=B'.

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