Sejam
espaços vetoriais. Uma função
chama-se par (respectivamente, ímpar) quando
(respectivamente,
para todo
. Prove:
(a) O conjunto
das funções pares e o conjunto
das funções ímpares são subespaços vetoriais de
e vale
.
(b) Além dos conjuntos
, dos polinômios pares e
, dos polinômios ímpares, considere também o conjunto
dos polinômios da forma
que só contêm expoentes pares e o conjunto
dos polinômios da forma
, que só contêm expoentes ímpares. Prove que
e
são subespaços vetoriais de espaço
de todos os polinômios, que
e
. Conclua que
e
.
(a) O conjunto
(b) Além dos conjuntos
Passo 1
O exercício trata de espaços vetoriais de funções e polinômios, mais precisamente do subespaço
(funções pares) e
(funções ímpares) dentro de
e de
(polinômios com expoentes pares) e
(expoentes ímpares) dentro de
. Vamos usar a teoria de subespaços (fechamento em soma e escalar, presença do zero) e de soma direta (interseção trivial e soma total).
Passo 2
Primeiro mostraremos que
e
são subespaços de
. Note que a função zero está em ambos; a soma de duas pares é par e a de duas ímpares é ímpar; e escalar um par ou ímpar mantém a paridade. Assim,
e
satisfazem as condições de subespaço.
Passo 3
Agora verificamos que
. Se
, então
e
para todo
, daí
sempre. Logo, a interseção contém só a função zero.
Passo 4
Para ver que
, dado
definimos as funções
Passo 5
É fácil checar que
,
e
. Assim todo
é soma de um par e um ímpar.
Passo 6
Com isso temos
, pois a soma é total e a interseção é trivial.
Passo 7
Passando aos polinômios, mostramos analogamente que
e
são subespaços de
. O polinômio nulo está em ambos; a soma e a multiplicação por escalar de polinômios com só expoentes pares (ou ímpares) mantém essa característica.
Como todo polinômio em satisfaz
, vale
. E análogamente
.
Como todo polinômio em
Passo 8
Para ver
, basta decompor qualquer
em parte par
e parte ímpar
. A interseção
é apenas o polinômio nulo.
Portanto .
Portanto
Passo 9
Por fim, se
(polinômio par), então
força todos os coeficientes de termos de grau ímpar a serem zero, logo
. Assim
; como já tínhamos
, vem
. O mesmo argumento dá
.
Resposta
As afirmações de (a) e (b) são verdadeiras:
e
são subespaços de
e
;
e
são subespaços de
com
,
e
, de onde segue
e
.