Obtenha a equação reduzida e a excentricidade da elipse cujo centro é a origem ( 0,0 ) e cujos focos estão nos eixos coordenados nos seguintes casos:
O eixo maior mede 10 e a distância focal é 6 .

Passo 1

O enunciado pede a forma reduzida (equação canônica) e a excentricidade de uma elipse com centro na origem, foci sobre os eixos coordenados, maior eixo de comprimento 10 e distância focal 6. Vamos usar a teoria de elipses canônicas.

Passo 2

Para uma elipse centrada na origem com eixo maior ao longo do eixo x, a equação reduzida é x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Se o eixo maior estiver ao longo do eixo y, a equação é y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1. Aqui a é o semi-eixo maior, b o semi-eixo menor e c a distância do centro a cada foco, com c^2 = a^2 - b^2 e excentricidade e = c/a.

Passo 3

Como o eixo maior mede 10, temos 2a = 10 então a = 5. Como a distância focal (distância entre focos) é 6, temos 2c = 6 então c = 3.

Passo 4

Usando c^2 = a^2 - b^2, calculamos b^2 = a^2 - c^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16, logo b = 4. A excentricidade é e = c/a = 3/5.

Passo 5

Substituindo na equação canônica: para foci no eixo x a forma reduzida fica

E para foci no eixo y basta trocar x por y e vice-versa:

Resposta

Equação reduzida (focos no eixo x):
x^225 + y^216 = 1
Equação reduzida (focos no eixo y):
y^225 + x^216 = 1
Excentricidade: e = 35.

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