Obtenha a equação reduzida e a excentricidade da elipse cujo centro é a origem ( 0,0 ) e cujos focos estão nos eixos coordenados nos seguintes casos:
O eixo maior mede 10 e a distância focal é 6 .
O eixo maior mede 10 e a distância focal é 6 .
Passo 1
O enunciado pede a forma reduzida (equação canônica) e a excentricidade de uma elipse com centro na origem, foci sobre os eixos coordenados, maior eixo de comprimento 10 e distância focal 6. Vamos usar a teoria de elipses canônicas.
Passo 2
Para uma elipse centrada na origem com eixo maior ao longo do eixo x, a equação reduzida é
. Se o eixo maior estiver ao longo do eixo y, a equação é
. Aqui
é o semi-eixo maior,
o semi-eixo menor e
a distância do centro a cada foco, com
e excentricidade
.
Passo 3
Como o eixo maior mede 10, temos
então
. Como a distância focal (distância entre focos) é 6, temos
então
.
Passo 4
Usando
, calculamos
, logo
. A excentricidade é
.
Passo 5
Substituindo na equação canônica: para foci no eixo x a forma reduzida fica
E para foci no eixo y basta trocar x por y e vice-versa:
Resposta
Equação reduzida (focos no eixo x):
Equação reduzida (focos no eixo y):
Excentricidade:
.