Esboce e encontre a área da região R onde R é a região limitada entre os gráficos de: y=1x e y=x para x in[1,2]

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região R limitada pelas curvas
y = 1x
e
y = x
no intervalo xin[1,2]. Para isso vamos usar:
– noções de esboço de gráficos (reta e hipérbole)
– fórmula da área entre duas curvas via integral definida

Passo 2

Esboço qualitativo:
Para x=1 temos y=1 em ambas as curvas. Para x=2, y=x vale 2 enquanto y=1/x vale 1/2. Assim, no primeiro quadrante há uma reta crescente y=x acima da hipérbole decrescente y=1/x, e a região R é o “fundo” entre elas de x=1 até x=2.

Passo 3

Determinar qual curva está acima de qual em [1,2]:
Para todo x>=1 temos
x >= 1x,
logo y=x é a fronteira superior de R e y=1/x é a fronteira inferior.

Passo 4

A área entre duas curvas de x=a até x=b é
A = integrala^b l(ftop(x) - fbot(x)r),dx
Aqui
A = integral1^2l(x - 1xr),dx

Passo 5

Calcular a integral:
integral l(x - 1xr),dx = integral x,dx - integral 1x,dx = x^22 - ln x + C
Avaliaremos de 1 a 2:
A = l[x^22 - ln xr]1^2 = l(42 - ln 2r) - l(12 - ln1r) = 2 - ln2 - 12 = 32 - ln2

Resposta

A = 32 - ln 2

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