Usando a definição de limite, mostrar que:
lim (x, y) (0,0) 7 x^28 raizx^2+y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite (épsilon-delta), que
lim(x,y)to(0,0) 7x^28raizx^2+y^2 = 0
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos precisar mostrar que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que sempre que raizx^2+y^2<de<a (e (x,y)neq(0,0)) então
|7x^28raizx^2+y^2 - 0| < varepsilon

Passo 2

Estudamos o valor absoluto da função afastada de 0:
|7x^28raizx^2+y^2| = 78,x^2raizx^2+y^2
Como x^2 <= x^2 + y^2, temos
x^2raizx^2+y^2 <= x^2+y^2raizx^2+y^2 = raizx^2+y^2
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|7x^28raizx^2+y^2| <= 78,raizx^2+y^2

Passo 3

Dado varepsilon>0, queremos garantir
78,raizx^2+y^2 < varepsilon
Basta escolher
de<a = 87,varepsilon,
pois então, sempre que raizx^2+y^2<de<a, teremos
78,raizx^2+y^2 < 78,de<a = 78,87,varepsilon = varepsilon

Passo 4

Portanto, pela definição de limite, para todo varepsilon>0 encontramos de<a = tfrac87varepsilon tal que
raizx^2+y^2<de<a implica
l|7x^2/(8raizx^2+y^2)r|<varepsilon. Assim
lim(x,y)to(0,0) 7x^28raizx^2+y^2 = 0

Resposta

0

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