Use o método dos coeficientes a determinar para resolver a problema com valor inicial
c y^prime+x y-2 y=c^x ; y(0)=y^prime(0)=0
[Sugestão: expandir e^x em série de potências em torno de x=0]

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
y' + x,y - 2,y = c^x
com condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=0
O método sugerido é expandir em série de potências em torno de x=0. Vamos assumir
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n e c^x=e^xln c=sumn=0^infty(ln c)^nn!,x^n

Passo 2

Escrevendo y' em série:
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^,n-1
Substituindo tudo na equação
sumn=1^inftyn,an,x^n-1 ;+; xsumn=0^inftyan,x^n ;-; 2sumn=0^inftyan,x^n ;=; sumn=0^infty(ln c)^nn!,x^n
A segunda soma é sumn=0^infty an,x^n+1=sumk=1^infty ak-1,x^k. Para igualar potências x^k, reindexamos a primeira soma: sumn=1^infty n,an,x^n-1=sumk=0^infty(k+1)ak+1x^k. Então, para todo k>=0:
(k+1),ak+1 ;+; ak-1 ;-; 2,ak ;=; (ln c)^kk!,
onde entendemos a-1=0.

Passo 3

As condições iniciais impõem
y(0)=a0=0, y'(0)=a1=0
Agora olhemos o caso k=0 na recorrência:
(0+1),a1+a-1-2,a0 ;=; (ln c)^00! Longrightarrow a1+0-2cdot 0 = 1 Longrightarrow a1=1
Mas isso contraria a condição a1=0.

Passo 4

Como obtemos simultaneamente a1=0 (pela condição inicial) e a1=1 (pela recorrência no termo k=0), há uma contradição. Logo, não existe série de potências (nem, portanto, função y) que satisfaça ao mesmo tempo a equação diferencial e as duas condições iniciais dadas.

Resposta

O problema de valor inicial não admite solução, pois as condições y(0)=0 e y'(0)=0 entram em contradição ao determinar os coeficientes da série.

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