Use o método dos coeficientes a determinar para resolver a problema com valor inicial
[Sugestão: expandir
em série de potências em torno de
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
com condições iniciais
O método sugerido é expandir em série de potências em torno de
. Vamos assumir
Passo 2
Escrevendo
em série:
Substituindo tudo na equação
A segunda soma é
. Para igualar potências
, reindexamos a primeira soma:
. Então, para todo
:
onde entendemos
.
Passo 3
As condições iniciais impõem
Agora olhemos o caso
na recorrência:
Mas isso contraria a condição
.
Passo 4
Como obtemos simultaneamente
(pela condição inicial) e
(pela recorrência no termo
), há uma contradição. Logo, não existe série de potências (nem, portanto, função
) que satisfaça ao mesmo tempo a equação diferencial e as duas condições iniciais dadas.
Resposta
O problema de valor inicial não admite solução, pois as condições
e
entram em contradição ao determinar os coeficientes da série.