Esboce e encontre uma parametrização de cada conjunto abaixo.
C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x y=1, x<0\right. e \left.y>-10\right\}

Passo 1

O enunciado pede o esboço e uma parametrização do conjunto \;C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=1,\;x<0,\;y>-10\}.
O conteúdo é estudo de curvas dadas por equações implícitas (hipérbole) e como obter uma parametrização.

Passo 2

Da equação xy=1 tiramos
y=\frac{1}{x}.
As condições x<0 e y>-10 impõem restrições no domínio de x. Como
\frac{1}{x}>-10,
multiplicando por x<0 (inverte-se o sinal da desigualdade),
1< -10\,x \quad\Longrightarrow\quad x<-\tfrac{1}{10}.
Logo o conjunto é justamente o ramo da hipérbole no terceiro quadrante, com
x\in(-\infty,\,-\tfrac{1}{10}),\quad y=\tfrac{1}{x}.

Passo 3

Esboço: é o ramo da hipérbole xy=1 que fica no terceiro quadrante (pois x<0 e y<0), mas truncado pela linha horizontal y=-10. Especificamente:
  • Quando x\to-\infty, tem-se y=\tfrac1x\to0^-, aproximando-se do eixo x.
  • Quando x\to-\tfrac1{10}^-, tem-se y\to-10^+, aproximando-se de y=-10.
    Não há pontos de quebra, e a curva é aberta em ambas as extremidades.

Passo 4

Para parametrizar, basta usar o próprio x como parâmetro. Definimos
\mathbf{r}(t) = \bigl(t,\;\tfrac{1}{t}\bigr),
com
t\in(-\infty,\,-\tfrac{1}{10}).
Isso garante t<0, \frac1t<0 e \frac1t>-10.

Resposta

A parametrização de C é
\mathbf{r}(t)=\bigl(t,\tfrac{1}{t}\bigr), \quad t\in(-\infty,-\tfrac{1}{10}).

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