Esboce e encontre uma parametrização de cada conjunto abaixo.
e
Passo 1
O enunciado pede o esboço e uma parametrização do conjunto
O conteúdo é estudo de curvas dadas por equações implícitas (hipérbole) e como obter uma parametrização.
O conteúdo é estudo de curvas dadas por equações implícitas (hipérbole) e como obter uma parametrização.
Passo 2
Da equação
tiramos
As condições
e
impõem restrições no domínio de
. Como
multiplicando por
(inverte-se o sinal da desigualdade),
Logo o conjunto é justamente o ramo da hipérbole no terceiro quadrante, com
Passo 3
Esboço: é o ramo da hipérbole
que fica no terceiro quadrante (pois
e
), mas truncado pela linha horizontal
. Especificamente:
- Quando
, tem-se , aproximando-se do eixo . - Quando
, tem-se , aproximando-se de .
Não há pontos de quebra, e a curva é aberta em ambas as extremidades.
Passo 4
Para parametrizar, basta usar o próprio
como parâmetro. Definimos
com
Isso garante
,
e
.
Resposta
A parametrização de
é