R O chefe da fábrica de relógio onde você trabalha pergunta a você o que ocorreria com a frequência do MHS angular da roda catarina de um relógio se todas as suas dimensões fossem reduzidas a um terço do valor inicial para economizar material, mantendo a mesma densidade e a mesma mola (logo, a mesma constante de torção). (a) O que você diria a ele? (b) De qual fator a constante de torção deveria ser modificada para que esta roda catarina menor oscilasse com a frequência original?

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador de torção (roda catarina) em MHS angular, cujo período é dado por\r
\omega \;=\;\sqrt{\frac{\kappa}{I}},\r
onde \kappa é a constante de torção da mola e I o momento de inércia da roda. Precisamos ver o que acontece com \omega se todas as dimensões lineares da roda são reduzidas a um terço, mantendo-se a mesma densidade (logo massa reduz) e a mesma \kappa.

Passo 2

Ao escalar as dimensões lineares por a=\tfrac13 e manter a densidade constante, a massa escala como volume:\r
m_{\rm new}=m_0\;a^3 = m_0\;\frac{1}{27}.\r
Como o momento de inércia de um corpo rígido típico (disco, anel etc.) escala como I\propto m\,L^2, ele fica\r
I_{\rm new}=I_0\;a^5 = I_0\;\frac{1}{3^5} = I_0\;\frac{1}{243}.

Passo 3

Com \kappa inalterado, a nova frequência angular é\r
\omega_{\rm new} =\sqrt{\frac{\kappa}{I_{\rm new}}} =\sqrt{\frac{\kappa}{I_0/243}} =\sqrt{243}\,\sqrt{\frac{\kappa}{I_0}} = \sqrt{243}\,\omega_0 =9\sqrt{3}\;\omega_0.\r
Ou seja, a frequência angular aumenta por um fator 9\sqrt{3}\approx15,6.

Passo 4

Para que a roda menor oscile com a mesma frequência original \omega_0, precisamos escolher uma nova constante de torção \kappa_{\rm new} tal que\r
\omega_0^2=\frac{\kappa_{\rm new}}{I_{\rm new}} \quad\Longrightarrow\quad \kappa_{\rm new}=I_{\rm new}\,\omega_0^2 =\frac{I_0}{243}\,\omega_0^2 =\frac{\kappa}{243}.

Resposta

(a) A frequência angular ficaria multiplicada por 9\sqrt{3}, ou seja, aumentaria cerca de 15{,}6 vezes. \r
(b) A constante de torção deveria ser reduzida em um fator 243 (isto é, passar para \kappa/243).

Exercícios relacionados