O chefe da fábrica de relógio onde você trabalha pergunta a você o que ocorreria com a frequência do MHS angular da roda catarina de um relógio se todas as suas dimensões fossem reduzidas a um terço do valor inicial para economizar material, mantendo a mesma densidade e a mesma mola (logo, a mesma constante de torção). (a) O que você diria a ele? (b) De qual fator a constante de torção deveria ser modificada para que esta roda catarina menor oscilasse com a frequência original?
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador de torção (roda catarina) em MHS angular, cujo período é dado por\r
onde
é a constante de torção da mola e
o momento de inércia da roda. Precisamos ver o que acontece com
se todas as dimensões lineares da roda são reduzidas a um terço, mantendo-se a mesma densidade (logo massa reduz) e a mesma
.
Passo 2
Ao escalar as dimensões lineares por
e manter a densidade constante, a massa escala como volume:\r
Como o momento de inércia de um corpo rígido típico (disco, anel etc.) escala como
, ele fica\r
Passo 3
Com
inalterado, a nova frequência angular é\r
Ou seja, a frequência angular aumenta por um fator
.
Passo 4
Para que a roda menor oscile com a mesma frequência original
, precisamos escolher uma nova constante de torção
tal que\r
Resposta
(a) A frequência angular ficaria multiplicada por
, ou seja, aumentaria cerca de
vezes. \r
(b) A constante de torção deveria ser reduzida em um fator (isto é, passar para
).
(b) A constante de torção deveria ser reduzida em um fator