Seja
dada por
, sen
. Mostre que
admite duas retas tangentes distintas no ponto
e determine suas equações.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede mostrar que em
ela tem duas retas tangentes distintas e encontrar suas equações. Para isso vamos:
- determinar os valores de
tais que , - calcular
, - avaliar
nesses e obter as direções tangentes, - escrever as equações das retas.
Passo 2
Procuramos
tal que
Da primeira:
logo
ou
. Se
, então
e
,
descartamos. Se , então
e
descartamos. Se
Os
com
são
Passo 3
Calculamos a derivada
Como
temos
E
Passo 4
Avaliaremos
em
e
.
Para
:
O vetor tangente em
é
e a inclinação é
Para
:
O vetor é
e a inclinação
Passo 5
As retas tangentes em
com inclinações
e
são, na forma
:
Resposta
As duas retas tangentes em
são