Seja \gamma:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por \gamma(t)=\left(\cos ^{2} t+\frac{\cos t}{2}\right., sen \left.t \cos t+\frac{\operatorname{sen} t}{2}\right). Mostre que \gamma admite duas retas tangentes distintas no ponto (0,0) e determine suas equações.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\gamma(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) =\Bigl(\cos^{2}t+\tfrac{\cos t}{2},\;\sin t\cos t+\tfrac{\sin t}{2}\Bigr), \quad t\in[0,2\pi],
e pede mostrar que em (0,0) ela tem duas retas tangentes distintas e encontrar suas equações. Para isso vamos:
  1. determinar os valores de t tais que \gamma(t)=(0,0),
  2. calcular \gamma'(t),
  3. avaliar \gamma'(t) nesses t e obter as direções tangentes,
  4. escrever as equações das retas.

Passo 2

Procuramos t tal que
x(t)=\cos^{2}t+\tfrac{\cos t}{2}=0, \quad y(t)=\sin t\cos t+\tfrac{\sin t}{2}=0.
Da primeira:
\cos^{2}t+\tfrac{\cos t}{2}=0 \;\Longrightarrow\; 2\cos^{2}t+\cos t=0 \;\Longrightarrow\; \cos t\,(2\cos t+1)=0,
logo \cos t=0 ou \cos t=-\tfrac12. Se \cos t=0, então \sin t=\pm1 e \;y(t)=\sin t\bigl(\cos t+\tfrac12\bigr)=\pm1\cdot\tfrac12\neq0,
descartamos. Se \cos t=-\tfrac12, então \cos t+\tfrac12=0 e
y(t)=\sin t\,0=0.
Os t\in[0,2\pi] com \cos t=-\tfrac12 são
t_1=\tfrac{2\pi}{3}, \quad t_2=\tfrac{4\pi}{3}.

Passo 3

Calculamos a derivada
\gamma'(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).
Como
x(t)=\cos^{2}t+\tfrac{\cos t}{2},
temos
x'(t)=-2\cos t\sin t-\tfrac{\sin t}{2} =-\sin t\Bigl(2\cos t+\tfrac12\Bigr).
E
y(t)=\sin t\cos t+\tfrac{\sin t}{2} \;\Longrightarrow\; y'(t)=\cos t\bigl(\cos t+\tfrac12\bigr)-\sin^{2}t =\cos2t+\tfrac{\cos t}{2}.

Passo 4

Avaliaremos \gamma'(t) em t_{1}=\tfrac{2\pi}{3} e t_{2}=\tfrac{4\pi}{3}.
Para t_1=\tfrac{2\pi}{3}:
\sin t_1=\tfrac{\sqrt3}{2}, \quad \cos t_1=-\tfrac12,
x'(t_1) =-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigl(2\cdot(-\tfrac12)+\tfrac12\Bigr) =-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigl(-1+\tfrac12\Bigr) =-\tfrac{\sqrt3}{2}(-\tfrac12) =\tfrac{\sqrt3}{4},
y'(t_1) =\cos(2t_1)+\tfrac{\cos t_1}{2} =\cos\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)+\bigl(-\tfrac12\bigr)\tfrac12 =-\tfrac12-\tfrac14 =-\tfrac34.
O vetor tangente em t_1 é \bigl(\tfrac{\sqrt3}{4},-\tfrac34\bigr) e a inclinação é
m_{1}=\frac{y'(t_1)}{x'(t_1)} =\frac{-\tfrac34}{\tfrac{\sqrt3}{4}} =-\frac{3}{\sqrt3} =-\sqrt3.
Para t_2=\tfrac{4\pi}{3}:
\sin t_2=-\tfrac{\sqrt3}{2}, \quad \cos t_2=-\tfrac12,
x'(t_2) =-\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)\Bigl(2\cdot(-\tfrac12)+\tfrac12\Bigr) =\tfrac{\sqrt3}{2}(-\tfrac12) =-\tfrac{\sqrt3}{4},
y'(t_2) =\cos(2t_2)+\tfrac{\cos t_2}{2} =\cos\bigl(\tfrac{8\pi}{3}\bigr)-\tfrac14 =\cos\bigl(2\pi+\tfrac{2\pi}{3}\bigr)-\tfrac14 =-\tfrac12-\tfrac14 =-\tfrac34.
O vetor é \bigl(-\tfrac{\sqrt3}{4},-\tfrac34\bigr) e a inclinação
m_{2}=\frac{y'(t_2)}{x'(t_2)} =\frac{-\tfrac34}{-\tfrac{\sqrt3}{4}} =\frac{3}{\sqrt3} =\sqrt3.

Passo 5

As retas tangentes em (0,0) com inclinações m_{1}=-\sqrt3 e m_{2}=\sqrt3 são, na forma y=mx:
\text{reta 1: }y=-\sqrt3\,x, \quad \text{reta 2: }y= \sqrt3\,x.

Resposta

As duas retas tangentes em (0,0) são
y=-\sqrt3\,x \quad\text{e}\quad y=\sqrt3\,x.

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