Esboce e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas abaixo em torno do eixo indicado: y=1+x^{2}, x=2, x=0 e y=0, em torno do eixo x;
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região do plano limitada por \,y=1+x^2\,,\;x=0\,,\;x=2 e \,y=0.
O conteúdo aqui é o método dos discos (ou discos perpendiculares ao eixo de rotação), em que usamos
V=\int_{a}^{b} A(x)\,dx
com A(x)=\pi [R(x)]^2, onde R(x) é a “altura” da região acima do eixo x.
Passo 2
Vamos esboçar a região para fixar ideias:
– A parábola y=1+x^2 abre para cima, com vértice em (0,1).
– As retas verticais são x=0 (eixo y) e x=2.
– A reta horizontal y=0 é o eixo x.
A região é o conjunto de pontos (x,y) com 0\le x\le2 e 0\le y\le1+x^2. Ao girar em torno do eixo x, cada fatia em x gera um disco de raio R(x)=1+x^2.
Passo 3
Pelo método dos discos, o volume é
V =\pi\int_{0}^{2}\bigl[R(x)\bigr]^2\,dx = \pi\int_{0}^{2}(1+x^2)^2\,dx.
Passo 4
Expandindo o integrando:
(1+x^2)^2 = 1 +2x^2 + x^4.
Logo,
V =\pi\int_{0}^{2}\bigl(1 +2x^2 + x^4\bigr)\,dx =\pi\Bigl[\int_{0}^{2}1\,dx +2\int_{0}^{2}x^2\,dx +\int_{0}^{2}x^4\,dx\Bigr].