Esboce e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas abaixo em torno do eixo indicado:
y=1+x^{2}, x=2, x=0 e y=0, em torno do eixo x;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região do plano limitada por
\,y=1+x^2\,,\;x=0\,,\;x=2 e \,y=0.
O conteúdo aqui é o método dos discos (ou discos perpendiculares ao eixo de rotação), em que usamos
V=\int_{a}^{b} A(x)\,dx
com A(x)=\pi [R(x)]^2, onde R(x) é a “altura” da região acima do eixo x.

Passo 2

Vamos esboçar a região para fixar ideias:
– A parábola y=1+x^2 abre para cima, com vértice em (0,1).
– As retas verticais são x=0 (eixo y) e x=2.
– A reta horizontal y=0 é o eixo x.
A região é o conjunto de pontos (x,y) com 0\le x\le2 e 0\le y\le1+x^2. Ao girar em torno do eixo x, cada fatia em x gera um disco de raio R(x)=1+x^2.

Passo 3

Pelo método dos discos, o volume é
V =\pi\int_{0}^{2}\bigl[R(x)\bigr]^2\,dx = \pi\int_{0}^{2}(1+x^2)^2\,dx.

Passo 4

Expandindo o integrando:
(1+x^2)^2 = 1 +2x^2 + x^4.
Logo,
V =\pi\int_{0}^{2}\bigl(1 +2x^2 + x^4\bigr)\,dx =\pi\Bigl[\int_{0}^{2}1\,dx +2\int_{0}^{2}x^2\,dx +\int_{0}^{2}x^4\,dx\Bigr].
Calculemos cada integral:
\int_{0}^{2}1\,dx = x\Big|_{0}^{2}=2, \quad \int_{0}^{2}x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{2}=\frac{8}{3}, \quad \int_{0}^{2}x^4\,dx = \frac{x^5}{5}\Big|_{0}^{2}=\frac{32}{5}.
Portanto,
V =\pi\Bigl[2 +2\cdot\frac{8}{3} + \frac{32}{5}\Bigr] =\pi\Bigl[2 + \frac{16}{3} + \frac{32}{5}\Bigr].

Passo 5

Colocando tudo sobre o denominador comum 15:
2 = \frac{30}{15},\quad \frac{16}{3}=\frac{80}{15},\quad \frac{32}{5}=\frac{96}{15},
logo
V =\pi\cdot\frac{30+80+96}{15} =\pi\cdot\frac{206}{15} =\frac{206\pi}{15}.

Resposta

V = \frac{206\pi}{15}.

Exercícios relacionados