Questão 3 - Derive a função geratriz de momentos de uma variável X com uma f.d.p a ser escolhidade dentre as seguintes>
X é uma v.a. c com distribuição normal
X é uma v.a. c com distribuição normal
Passo 1
O enunciado pede a função geratriz de momentos de uma variável aleatória contínua
que segue a distribuição normal
.
Conteúdo: momento gerador de variáveis contínuas. Vamos usar a definição
Conteúdo: momento gerador de variáveis contínuas. Vamos usar a definição
e calcular a integral correspondente com a densidade da normal.
Passo 2
Pela definição de momento gerador,
Aqui
é a pdf da normal
.
Passo 3
Substituindo a densidade
temos
Juntamos as exponenciais num único expoente.
Passo 4
No expoente somado fica
Para completar o quadrado, reescrevemos
Logo
Passo 5
Substituindo de volta em
:
Mas a integral é exatamente 1, pois é a área total de uma normal com média
e variância
.