Questão 3 - Derive a função geratriz de momentos de uma variável X com uma f.d.p a ser escolhidade dentre as seguintes>
X é uma v.a. c com distribuição normal N\left(\mu, \sigma^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a função geratriz de momentos de uma variável aleatória contínua X que segue a distribuição normal N(\mu,\sigma^{2}).
Conteúdo: momento gerador de variáveis contínuas. Vamos usar a definição
M_{X}(t)=\mathbb{E}\bigl[e^{tX}\bigr]
e calcular a integral correspondente com a densidade da normal.

Passo 2

Pela definição de momento gerador,
M_{X}(t) =\mathbb{E}\bigl[e^{tX}\bigr] =\int_{-\infty}^{\infty}e^{t x}\,f_{X}(x)\,\mathrm{d}x.
Aqui f_{X}(x) é a pdf da normal N(\mu,\sigma^{2}).

Passo 3

Substituindo a densidade
f_{X}(x) =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\Bigl(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr),
temos
M_{X}(t) =\int_{-\infty}^{\infty} e^{t x} \;\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\Bigl(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr) \,\mathrm{d}x.
Juntamos as exponenciais num único expoente.

Passo 4

No expoente somado fica
t x \;-\;\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} =-\frac{1}{2\sigma^{2}}\Bigl[(x-\mu)^{2}-2\sigma^{2}t\,x\Bigr].
Para completar o quadrado, reescrevemos
(x-\mu)^{2}-2\sigma^{2}t\,x =(x-(\mu+\sigma^{2}t))^{2} -\bigl(\mu+\sigma^{2}t\bigr)^{2}+\mu^{2}.
Logo
t x -\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} =-\frac{(x-(\mu+\sigma^{2}t))^{2}}{2\sigma^{2}} +\frac{(\mu+\sigma^{2}t)^{2}-\mu^{2}}{2\sigma^{2}} =\dots =\;-\,\frac{(x-(\mu+\sigma^{2}t))^{2}}{2\sigma^{2}} +\mu\,t+\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}.

Passo 5

Substituindo de volta em M_{X}(t):
M_{X}(t) =\exp\Bigl(\mu\,t+\tfrac{\sigma^{2}t^{2}}{2}\Bigr) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\Bigl(-\frac{(x-(\mu+\sigma^{2}t))^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr) \,\mathrm{d}x.
Mas a integral é exatamente 1, pois é a área total de uma normal com média \mu+\sigma^{2}t e variância \sigma^{2}.

Resposta

M_{X}(t) =\exp\!\Bigl(\mu\,t+\tfrac{\sigma^{2}t^{2}}{2}\Bigr).

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