Questão 4 - Com base no Teorema de Tchebichev, calcule a probaibilidade \mathrm{p}(35<\mathrm{x}<65), sabendo-se que x é uma v.a. com média 50 e desvio-padrão 10.

Passo 1

O enunciado considera uma variável aleatória X com média \mu=50 e desvio-padrão \sigma=10, e pede a probabilidade
P(35 < X < 65)
usando o Teorema de Tchebichev.

Passo 2

Observamos que o intervalo 35 < X < 65 é equivalente a
|X - \mu| < 15
pois \mu=50 e 50 - 15 = 35, 50 + 15 = 65.

Passo 3

Em unidades de desvio-padrão, definimos
k = \frac{15}{\sigma} = \frac{15}{10} = 1{,}5.

Passo 4

O Teorema de Tchebichev afirma que, para qualquer k>1,
P\bigl(|X - \mu| < k\,\sigma\bigr) \;\ge\; 1 - \frac{1}{k^2}.

Passo 5

Substituindo k=1{,}5 na fórmula, temos
P(35 < X < 65) = P\bigl(|X-\mu|<1{,}5\,\sigma\bigr)\ge 1 - \frac{1}{(1{,}5)^2} = 1 - \frac{1}{2{,}25} = 1 - 0{,}4444 = 0{,}5556.

Resposta

Pelo Teorema de Tchebichev,
P(35 < X < 65)\ge 0{,}5556.

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