Esboce e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas abaixo em torno do eixo indicado:
y=x^{7}, y=0 e x=1, em torno do eixo x;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada por
y = x^{7},\quad y=0,\quad x=1.
O conteúdo aqui é cálculo de volume de revolução pelo método dos discos. Vamos precisar da fórmula
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\,dx,
onde f(x) é a distância da curva ao eixo de rotação.

Passo 2

Primeiro identificamos a região no plano xy. Para 0\le x\le1, a curva y=x^{7} vai de y=0 até y=1. A linha y=0 fecha por baixo e x=1 fecha à direita. Ao girar em torno do eixo x, cada fatia vertical em x gera um disco de raio y = x^{7} e espessura dx.

Passo 3

Aplicamos a fórmula do volume por discos:
V = \pi \int_{0}^{1} \bigl(x^{7}\bigr)^{2}\,dx = \pi \int_{0}^{1} x^{14}\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int_{0}^{1} x^{14}\,dx = \left[\frac{x^{15}}{15}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{15}.
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V = \pi \cdot \frac{1}{15} = \frac{\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle V = \frac{\pi}{15}.

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