Esboce a equação polar em coordenadas cartesianas e, depois, em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede (a) sua forma em coordenadas cartesianas e (b) um esboço em coordenadas polares. Vamos usar as relações
para passar ao sistema cartesiano e, em seguida, caracterizar a curva e mostrar como ela fica no plano polar.
Passo 2
Substituindo
e
na equação polar:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 3
Para eliminar a raiz, escrevemos
e então elevamos ao quadrado:
Observando que
, a forma final implícita em coordenadas cartesianas é
Passo 4
Reconhecemos que
é um limaçon de Pascal com coeficiente de cosseno maior que a constante (
), logo tem laço interno. Além disso a curva é simétrica em relação ao eixo
.
Interceptações importantes:
Interceptações importantes:
- Em
: (ponto ). - Zeros de
: .
O laço interno ocorre para, o ramo externo para .
Passo 5
Esboço em coordenadas polares:
- Marque
. - Em
, . - Em
, . - Em
e , fecha o laço.
Trace a curva ligando esses pontos, lembrando da simetria no eixo.
Resposta
Equação em coordenadas cartesianas (forma implícita):
Em coordenadas polares a equação permanece
cujo gráfico é um limaçon com laço interno, simétrico em relação ao eixo
, com
em
e valor máximo
em
.