Esboce a equação polar em coordenadas cartesianas e, depois, em coordenadas polares.
r=1+2 cos theta

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r = 1 + 2costheta
e pede (a) sua forma em coordenadas cartesianas e (b) um esboço em coordenadas polares. Vamos usar as relações
r = raizx^2 + y^2, costheta = xr
para passar ao sistema cartesiano e, em seguida, caracterizar a curva e mostrar como ela fica no plano polar.

Passo 2

Substituindo r e costheta na equação polar:
r = 1 + 2costheta Longrightarrow raizx^2+y^2 = 1 + 2,xraizx^2+y^2
Multiplicando ambos os lados por raizx^2+y^2 obtemos
x^2 + y^2 = raizx^2+y^2 + 2x

Passo 3

Para eliminar a raiz, escrevemos
raizx^2+y^2 = x^2 + y^2 - 2x
e então elevamos ao quadrado:
l(x^2 + y^2 - 2xr)^2 = x^2 + y^2
Observando que x^2+y^2-2x = (x-1)^2 + y^2 -1, a forma final implícita em coordenadas cartesianas é
l[(x-1)^2 + y^2 - 1r]^2 = x^2 + y^2

Passo 4

Reconhecemos que r = 1+2costheta é um limaçon de Pascal com coeficiente de cosseno maior que a constante ( 2>1), logo tem laço interno. Além disso a curva é simétrica em relação ao eixo x.
Interceptações importantes:
  • Em theta=0: r=3 (ponto (3,0)).
  • Zeros de r: 1+2costheta=0implies costheta=-tfrac12implies theta=2pi/3,,4pi/3.
    O laço interno ocorre para thetain[2pi/3,4pi/3], o ramo externo para thetain[-2pi/3,2pi/3].

Passo 5

Esboço em coordenadas polares:
  • Marque theta=0to r=3.
  • Em theta=pmpi/3, r=1+2cdottfrac12=2.
  • Em theta=pmpi/2, r=1.
  • Em theta=2pi/3 e 4pi/3, r=0 fecha o laço.
    Trace a curva ligando esses pontos, lembrando da simetria no eixo x.

Resposta

Equação em coordenadas cartesianas (forma implícita):
l[(x-1)^2 + y^2 - 1r]^2 = x^2 + y^2
Em coordenadas polares a equação permanece
r = 1 + 2costheta,
cujo gráfico é um limaçon com laço interno, simétrico em relação ao eixo x, com r=0 em theta=2pi/3,4pi/3 e valor máximo r=3 em theta=0.

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