Esboce a equação polar em coordenadas cartesianas e, depois, em coordenadas polares.
r=4 sen 3 theta

Passo 1

O enunciado pede para transformar a curva polar
r = 4,sen(3theta)
em sua forma cartesiana e, em seguida, esboçar o gráfico nos dois sistemas de coordenadas. Vamos usar a identidade de ângulo triplo para sen(3theta) e a relação x=rcostheta, y=rsentheta, r=raizx^2+y^2.

Passo 2

Usamos a identidade
sen(3theta)=3,sentheta - 4,sen^3theta
e substituímos sentheta = tfracyr. Assim
r ;=; 4l(3,tfracyr ;-; 4,tfracy^3r^3r) ;=; 12,yr ;-;16,y^3r^3

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por r^3 para eliminar denominadores:
r^4 ;=; 12,y,r^2 ;-; 16,y^3
Como r^2=x^2+y^2, temos
(x^2+y^2)^2 ;=; 12,y,(x^2+y^2);-;16,y^3
Reorganizando, a forma cartesiana fica
(x^2+y^2)^2 ;-;12,y,(x^2+y^2);+;16,y^3 ;=;0

Passo 4

Para esboçar em coordenadas cartesianas, observe que é uma curva de quarto grau com simetria em relação ao eixo y (aparece x^2 apenas) e que intercepta o eixo y em y=0 e y=-4. Ela forma três “laços” (ou pétalas) porque vem da rosa polar de três pétalas descrita por r=4sen(3theta).

Passo 5

No sistema polar, basta notar que sen(3theta)=1 quando
3theta=pi2+2kpi Longrightarrow theta=pi6+2kpi3,
logo há três máximos r=4 nos ângulos theta=pi/6,,5pi/6,,3pi/2. Entre esses ângulos, r muda de sinal criando três pétalas simétricas de comprimento 4.

Resposta

Forma cartesiana:
(x^2+y^2)^2 ;-;12,y,(x^2+y^2);+;16,y^3=0
Esboço em coordenadas cartesianas: curva de quarto grau com três laços simétricos em torno do eixo y, interceptando y=0 e y=-4.
Esboço em coordenadas polares: rosa de três pétalas, cada pétala de comprimento máximo r=4, centradas em theta=pi/6, theta=5pi/6 e theta=3pi/2.

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