Esboce a equação polar em coordenadas cartesianas e, depois, em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para transformar a curva polar
em sua forma cartesiana e, em seguida, esboçar o gráfico nos dois sistemas de coordenadas. Vamos usar a identidade de ângulo triplo para
e a relação
,
,
.
Passo 2
Usamos a identidade
e substituímos
. Assim
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Como
, temos
Reorganizando, a forma cartesiana fica
Passo 4
Para esboçar em coordenadas cartesianas, observe que é uma curva de quarto grau com simetria em relação ao eixo
(aparece
apenas) e que intercepta o eixo
em
e
. Ela forma três “laços” (ou pétalas) porque vem da rosa polar de três pétalas descrita por
.
Passo 5
No sistema polar, basta notar que
quando
logo há três máximos
nos ângulos
. Entre esses ângulos,
muda de sinal criando três pétalas simétricas de comprimento 4.
Resposta
Forma cartesiana:
Esboço em coordenadas cartesianas: curva de quarto grau com três laços simétricos em torno do eixo
, interceptando
e
.
Esboço em coordenadas polares: rosa de três pétalas, cada pétala de comprimento máximo
, centradas em
,
e
.