Esboce a equação polar em coordenadas cartesianas e, depois, em coordenadas polares.
r=ln theta, theta >= 1

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r = lntheta, theta>=1
e pede que a passemos para o plano cartesiano e, em seguida, façamos o esboço tanto no plano cartesiano xy quanto no próprio sistema polar (r,theta). Para isso vamos usar as fórmulas de conversão
x = rcostheta, y = rsintheta,
e também lembrar que r>=0 e theta>=1.

Passo 2

Substituindo r=lntheta em x=rcostheta e y=rsintheta, obtemos a representação paramétrica da curva no plano xy:
x(theta)=lntheta;costheta,
y(theta)=lntheta;sintheta,
theta>=1
Essa é a forma cartesianizada da curva polar.

Passo 3

Esboço no plano cartesiano xy:
  • Em theta=1 temos r=ln1=0, isto é, o ponto (x,y)=(0,0).
  • Conforme theta cresce acima de 1, lntheta cresce lentamente, logo o ponto (x(theta),y(theta)) sai do polo e descreve uma espiral que gira no sentido anti-horário.
  • Por exemplo, em theta=e temos r=1, logo (x,y)=(cos e,sin e). Em theta=e^2 temos r=2, e assim por diante.
    O esboço vai mostrar uma espiral que, partindo do polo em theta=1, vai se afastando lentamente à medida que theta aumenta.

Passo 4

Esboço no gráfico (r,theta):
  • Traçamos o eixo horizontal representando theta>=1 e o eixo vertical representando r>=0.
  • A curva r=lntheta começa em (theta,r)=(1,0), cresce sem limite mas de forma logarítmica (ou seja, bem lenta).
  • Em theta=e marca-se o ponto (e,1), em theta=e^2 marca-se (e^2,2), etc.
    O resultado é o gráfico usual da função logaritmo natural deslocada para a direita até theta=1.

Resposta

Em coordenadas cartesianas (parâmetro theta>=1):
x(theta)=lntheta;costheta, y(theta)=lntheta;sintheta
Em coordenadas polares (gráfico r vs.\ theta):
r=lntheta, theta>=1,
começando em (1,0) e crescendo lentamente em forma de logaritmo.

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