Esboce a equação polar em coordenadas cartesianas e, depois, em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede que a passemos para o plano cartesiano e, em seguida, façamos o esboço tanto no plano cartesiano
quanto no próprio sistema polar
. Para isso vamos usar as fórmulas de conversão
e também lembrar que
e
.
Passo 2
Substituindo
em
e
, obtemos a representação paramétrica da curva no plano
:
Essa é a forma cartesianizada da curva polar.
Passo 3
Esboço no plano cartesiano
:
- Em
temos , isto é, o ponto . - Conforme
cresce acima de , cresce lentamente, logo o ponto sai do polo e descreve uma espiral que gira no sentido anti-horário. - Por exemplo, em
temos , logo . Em temos , e assim por diante.
O esboço vai mostrar uma espiral que, partindo do polo em, vai se afastando lentamente à medida que aumenta.
Passo 4
Esboço no gráfico
:
- Traçamos o eixo horizontal representando
e o eixo vertical representando . - A curva
começa em , cresce sem limite mas de forma logarítmica (ou seja, bem lenta). - Em
marca-se o ponto , em marca-se , etc.
O resultado é o gráfico usual da função logaritmo natural deslocada para a direita até.
Resposta
Em coordenadas cartesianas (parâmetro
):
Em coordenadas polares (gráfico
vs.\
):
começando em
e crescendo lentamente em forma de logaritmo.