Exercício 5. Determine fracpartial zpartial s e fracpartial zpartial s de duas maneiras: Usando a Regra da cadeia e substituindo as expressões de x e y de modo que se escreva z como uma função de s e t. As suas respostas coincidem?
z=x^2+y^2 em que x=2 s+3 t e y=s+t.

Passo 1

O enunciado dá a função z=x^2+y^2 com x=2s+3t e y=s+t, e pede as derivadas parciais partial zpartial s e partial zpartial t de duas maneiras:
  1. aplicando a regra da cadeia;
  2. substituindo x e y para escrever z como função direta de s e t e então derivar.

Passo 2

Usando a regra da cadeia, primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y:
partial zpartial x=2x, partial zpartial y=2y
Depois, como x e y dependem de s e t, vale
partial zpartial s =partial zpartial x,partial xpartial s +partial zpartial y,partial ypartial s =2xcdot2+2ycdot1 =4x+2y,
partial zpartial t =partial zpartial x,partial xpartial t +partial zpartial y,partial ypartial t =2xcdot3+2ycdot1 =6x+2y

Passo 3

Agora substituímos x=2s+3t e y=s+t nas expressões obtidas:
partial zpartial s =4(2s+3t)+2(s+t) =8s+12t+2s+2t =10s+14t,
partial zpartial t =6(2s+3t)+2(s+t) =12s+18t+2s+2t =14s+20t

Passo 4

Fazendo a substituição direta, escrevemos
z(s,t)=(2s+3t)^2+(s+t)^2 =4s^2+12st+9t^2+s^2+2st+t^2 =5s^2+14st+10t^2
Aí derivamos em relação a s e a t:
partial zpartial s =10s+14t, partial zpartial t =14s+20t

Passo 5

As duas maneiras deram exatamente as mesmas expressões para partial zpartial s e partial zpartial t.

Resposta

partial zpartial s=10s+14t
partial zpartial t=14s+20t
E sim, as respostas coincidem.

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