Esboce a equação polar em coordenadas cartesianas e, depois, em coordenadas polares.
r=2(1+cos theta)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a curva definida em coordenadas polares por r=2(1+costheta). Primeiro vamos converter essa relação para coordenadas cartesianas, identificando o tipo de curva e seus pontos principais. Depois, voltamos ao sistema polar e marcaremos os pontos-chave de r(theta) para esboçar diretamente em polares.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas usamos as relações x=rcostheta, y=rsintheta e r=raizx^2+y^2. Substituindo costheta=tfracxr em r=2+2costheta obtemos:
r=2+2xr
Multiplicando ambos os lados por r e usando r^2=x^2+y^2 segue
r^2=2r+2x
x^2+y^2=2raizx^2+y^2+2x
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz, chega-se a
(x^2+y^2-2x)^2=4(x^2+y^2)

Passo 3

Essa é a equação de um cardioide voltado para a direita. Ele tem cuspide na origem, ponto máximo em (4,0) e intercepta o eixo y em (0,±2).
Para esboçar no plano cartesiano, basta desenhar esse coraçãozinho – cuspide em O, laço simétrico em torno do eixo x, atingindo x=4.

Passo 4

No plano polar, usamos diretamente r(theta)=2(1+costheta). Marcamos: theta=0implies r=4, theta=tfracpi2implies r=2, theta=piimplies r=0, theta=tfrac3pi2implies r=2. Unindo esses pontos suavemente, obtemos o mesmo cardioide simétrico em torno do eixo polar.
Ao variar theta de 0 a 2pi a curva parte de r=4, encolhe até cuspir na origem em theta=pi e volta a crescer até completar o laço.

Resposta

A curva é um cardioide com cuspide na origem, de equação cartesiana
(x^2+y^2-2x)^2=4(x^2+y^2)
e em coordenadas polares corresponde ao gráfico de
r=2(1+costheta)
simétrico ao eixo polar e com ponto mais afastado em r=4 para theta=0.

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