Esboce a equação polar em coordenadas cartesianas e, depois, em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a curva definida em coordenadas polares por
. Primeiro vamos converter essa relação para coordenadas cartesianas, identificando o tipo de curva e seus pontos principais. Depois, voltamos ao sistema polar e marcaremos os pontos-chave de
para esboçar diretamente em polares.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas usamos as relações
,
e
. Substituindo
em
obtemos:
Multiplicando ambos os lados por
e usando
segue
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz, chega-se a
Passo 3
Essa é a equação de um cardioide voltado para a direita. Ele tem cuspide na origem, ponto máximo em
e intercepta o eixo
em
.
Para esboçar no plano cartesiano, basta desenhar esse coraçãozinho – cuspide em , laço simétrico em torno do eixo
, atingindo
.
Para esboçar no plano cartesiano, basta desenhar esse coraçãozinho – cuspide em
Passo 4
No plano polar, usamos diretamente
. Marcamos:
,
,
,
. Unindo esses pontos suavemente, obtemos o mesmo cardioide simétrico em torno do eixo polar.
Ao variar de
a
a curva parte de
, encolhe até cuspir na origem em
e volta a crescer até completar o laço.
Ao variar
Resposta
A curva é um cardioide com cuspide na origem, de equação cartesiana
e em coordenadas polares corresponde ao gráfico de
simétrico ao eixo polar e com ponto mais afastado em
para
.