Mostre que
integral e^x sen(x) d x=12 e^x(sen(x)-cos (x))+C

Passo 1

Esse exercício pede para calcular a integral integral e^xsin(x),dx. O conteúdo envolvido é integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = uv - integral v,du. Vamos usar essa ideia duas vezes.

Passo 2

Vamos chamar I = integral e^xsin(x),dxEscolhendo u = sin(x) e dv = e^x,dx, temos du = cos(x),dx e v = e^x. Pela fórmula de integração por partes,
I = e^xsin(x) - integral e^xcos(x),dx

Passo 3

Definimos agora J = integral e^xcos(x),dx Novamente por partes, com u = cos(x), dv = e^x,dx, du = -sin(x),dx e v = e^x,
J = e^xcos(x) - integral e^x(-sin(x)),dx = e^xcos(x) + integral e^xsin(x),dx = e^xcos(x) + I

Passo 4

Voltando à expressão de I:
I = e^xsin(x) - J = e^xsin(x) - l(e^xcos(x) + Ir) = e^xsin(x) - e^xcos(x) - I

Passo 5

Agrupando termos semelhantes, isolamos I:

portanto

Resposta

integral e^xsin(x),dx = tfrac12,e^x(sin(x)-cos(x)) + C

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