Esboce o gráfico de e ache cada limite se existir: lim x 1 f(x)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = x^2 - 1, & se x < 1 4 - x, & se x >= 1
E a gente precisa esboçar o gráfico dessa função e encontrar o limite limx 1 f(x). Para resolver isso, vamos seguir os conceitos de limites laterais e analisar como a função se comporta quando x se aproxima de 1 por valores menores e maiores que 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função por partes. Para x < 1, a função é f(x) = x^2 - 1, que é uma parábola. Para x >= 1, a função é f(x) = 4 - x, que é uma reta decrescente. Vamos ver como essas duas partes se comportam perto de x = 1.
Passo 3
Vamos calcular o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, x está um pouquinho menor que 1. Usamos a primeira parte da função:
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (x^2 - 1)
Substituindo x = 1:
1^2 - 1 = 0
Então,
limx to 1^- f(x) = 0
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 1 pela direita, ou seja, x está um pouquinho maior que 1. Usamos a segunda parte da função:
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (4 - x)
Substituindo x = 1:
4 - 1 = 3
Então,
limx to 1^+ f(x) = 3
Passo 5
Para existir o limite geral limx to 1 f(x), os limites pela esquerda e pela direita precisam ser iguais. No nosso caso:
limx to 1^- f(x) = 0 e limx to 1^+ f(x) = 3
Como 0 não é igual a 3, o limite geral não existe.
Resposta
O limite limx 1 f(x) não existe porque os limites pela esquerda e pela direita são diferentes: 0 e 3, respectivamente.