Esboce o gráfico de
e ache cada limite se existir:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A tarefa é:
- Esboçar o gráfico dessa função.
- Encontrar o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita, ou seja, $ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta em cada intervalo e aplicar conceitos de limites para encontrar o valor desejado.
Passo 2
Vamos começar esboçando o gráfico da função $ f(x) $. A função é definida por duas partes:
- Para $ x \leq 1 $: $ f(x) = x^{3} $
- Para $ x > 1 $: $ f(x) = 3 - x $
Parte 1: $ x \leq 1 $
A função $ x^{3} $ é um polinômio cúbico. Sabemos que ela passa pela origem (0,0) e tem a característica de ser crescente em todo o seu domínio. Em $ x = 1 $:
Parte 2: $ x > 1 $
A função $ 3 - x $ é uma reta decrescente com inclinação -1 e intercepto em 3. Em $ x = 1 $:
No entanto, como a segunda parte é válida apenas para $ x > 1 $, em $ x = 1 $ usamos a primeira definição, ou seja, $ f(1) = 1 $.
Esboço do Gráfico
- Para $ x \leq 1 $: Desenhamos a curva cúbica $ x^{3} $, que passa por (1,1).
- Para $ x > 1 $: Desenhamos a reta $ 3 - x $, começando logo após $ x = 1 $, com um ponto cheio em $ x = 1 $ para $ x^{3} $ e um ponto aberto para $ 3 - x $ em $ x = 1 $, indicando que $ f(1) $ não assume o valor $ 2 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite $ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) $, ou seja, o valor que $ f(x) $ se aproxima quando $ x $ chega a 1 vindo da direita (valores maiores que 1).
Entendendo o Limite pela Direita
Quando calculamos $ \lim_{x \to a^{+}} f(x) $, estamos olhando para os valores de $ f(x) $ quando $ x $ está se aproximando de $ a $ por valores maiores que $ a $.
Aplicando à Função
Para $ x > 1 $, a função é $ f(x) = 3 - x $. Então, vamos substituir $ x $ por valores próximos a 1, mas maiores que 1.
Portanto, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita é 2.
Resposta
O limite $ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) $ é igual a 2.