É verdadeiro ou falso?
Se
e a convergência é uniforme, então
e
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a série de Fourier em cossenos
e afirma que, com convergência uniforme, podemos trocar soma e derivada para obter a equação do calor
e as condições de Neumann
.
Passo 2
Aplicando a derivada em
termo a termo (válido por convergência uniforme), obtemos
Passo 3
Agora derivamos duas vezes em
, igualmente termo a termo:
Passo 4
Multiplicando
por
dá
que coincide com
obtido no passo 2. Logo a série satisfaz
Passo 5
Para a condição de Neumann, basta ver que
e
,
então de
então de
segue
Resposta
Verdadeiro.