É verdadeiro ou falso?
Se u(x, t)=c02+sumn=1^+infty cn e^-pi^2 alpha^2 n^2 t / L^2 cos pi n xL e a convergência é uniforme, então alpha^2 partial^2 upartial x^2=partial upartial t e partial upartial x(0, t)= partial upartial x(L, t)=0.

Passo 1

O enunciado dá a série de Fourier em cossenos
u(x,t)=c02+sumn=1^+inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2cospi n xL
e afirma que, com convergência uniforme, podemos trocar soma e derivada para obter a equação do calor alpha^2partial^2upartial x^2=partial upartial t e as condições de Neumann partial upartial x(0,t)=partial upartial x(L,t)=0.

Passo 2

Aplicando a derivada em t termo a termo (válido por convergência uniforme), obtemos
partial upartial t =sumn=1^+inftycnl(-pi^2alpha^2n^2L^2r)e^-pi^2alpha^2n^2t/L^2cospi n xL

Passo 3

Agora derivamos duas vezes em x, igualmente termo a termo:
partial upartial x =-sumn=1^+inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2pi nLsinpi n xL,
partial^2upartial x^2 =-sumn=1^+inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2pi nLpartialpartial xsinpi n xL =-sumn=1^+inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2pi^2n^2L^2cospi n xL

Passo 4

Multiplicando partial^2upartial x^2 por alpha^2
alpha^2partial^2upartial x^2 =-sumn=1^+inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2pi^2alpha^2n^2L^2cospi n xL,
que coincide com partial upartial t obtido no passo 2. Logo a série satisfaz
alpha^2partial^2upartial x^2=partial upartial t

Passo 5

Para a condição de Neumann, basta ver que
sinl(tfracpi ncdot0Lr)=0 e sinl(tfracpi ncdot LLr)=sin(npi)=0,
então de
partial upartial x =-sumn=1^+inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2pi nLsinpi n xL
segue
partial upartial x(0,t)=0, partial upartial x(L,t)=0

Resposta

Verdadeiro.

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