Esboce o gráfico.
a) f(x)=x^3-3 x^2+3 x
b) f(x)=x^3-x^2+1
c) f(x)=xx+1
d) f(x)=x-1x^2
e) f(x)=e^-x^2
f) f(x)=x^4-2 x^2
g) f(x)=x^2-x+1x^2
h) f(x)=x e^-3 x
i) f(x)=x^2-3x-2
j) f(x)=e^x1+e^x
k) f(x)=x^4-2 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar os gráficos das funções a)–k). O conteúdo mobilizado envolve estudo de função real: domínio, interceptos, limites (para assimptotas), derivada primeira (monotonia e extremos), derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão).

Passo 2

O método geral para cada função f é:
1. Determinar o domínio de f.
2. Calcular interceptos com eixo x (resolver f(x)=0) e eixo y ( f(0), se existir).
3. Estudar limites limxto a^pmf(x) em pontos proibidos ou pminfty para detectar assimptotas verticais e horizontais (ou oblíquas).
4. Encontrar f'(x), achar zeros de f' e montar o sinal de f' para determinar intervalos de crescimento/decrescimento e pontos críticos (máximos/mínimos locais).
5. Calcular f''(x), achar zeros de f'' e montar o sinal de f'' para descobrir concavidade para cima/para baixo e pontos de inflexão.
6. Usar todas essas informações para traçar um esboço do gráfico.

Passo 3

Função (a) f(x)=x^3-3x^2+3x.
O domínio é R. Observando
f(x)=x^3-3x^2+3x=(x-1)^3+1,
tem-se intercepto em x: (x-1)^3+1=0implies x=0, isto é (0,0), e intercepto em y: f(0)=0. Não há assimptotas.
Derivada:
f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2>=0,
logo f é estritamente crescente (toque horizontal em x=1 mas sem mudar de sinal). Assim, não há máximos nem mínimos locais, só inflexão em x=1.
Segunda derivada:
f''(x)=6(x-1),
muda de sinal em x=1: concavidade para baixo em x<1, para cima em x>1.
Esboço: um cubo deslocado, ponto de inflexão em (1,1), passa por (0,0).

Passo 4

Função (b) f(x)=x^3-x^2+1.
Domínio R. Interceptos: f(0)=1 em y; f(x)=0 tem uma raiz real aproximada, mas para esboço basta saber que cruza o eixo x uma vez.
Derivada:
f'(x)=3x^2-2x=x(3x-2),
zeros em x=0 ( f(0)=1, máximo local) e x=2/3 ( f(2/3)=23/27approx0,85, mínimo local). Sinal: cresce até 0, decresce até 2/3, cresce para +infty.
Segunda derivada:
f''(x)=6x-2,
inflexão em x=1/3. Concavidade muda de baixo para cima.
Esboço: típico “S” de um cúbico com max em (0,1), min em (2/3,23/27).

Passo 5

Função (c) f(x)=xx+1.
Domínio xneq -1. Intercepto em x: x=0 (0,0). Não há intercepto em y além de (0,0).
Limites: limxto-1^pmf(x)=mpinfty (assimptota vertical x=-1); limxtopminftyf(x)=1 (assimptota horizontal y=1).
Derivada:
f'(x)=1cdot(x+1)-xcdot1(x+1)^2=1(x+1)^2>0,
sempre crescente.
Segunda derivada:
f''(x)=-2(x+1)^3,
concava para baixo se x>-1, para cima se x<-1.
Esboço: função monótona crescente com um “atalho” em x=-1, aproximando y=1.

Passo 6

Função (d) f(x)=x-1x^2.
Domínio xneq0. Intercepto em x: solver x-1=0implies x=1, ponto (1,0). Sem intercepto em y pois f(0) não existe.
Limites: limxto0^pmf(x)=mpinfty (vertical x=0); limxtopminftyf(x)=0 (horizontal y=0).
Derivada:
f'(x)=1cdot x^2-(x-1)cdot2xx^4=-x-2x^3,
zero em x=2 (extremo). Sinal: decresce até x=0^-, cresce em (0,2), decresce em (2,infty).
Segunda derivada:
f''(x)=2(x-3)x^4,
inflexão em x=3.
Esboço: ramo em x<0 caindo de 0 a -infty, ramo em x>0 sobe de +infty a (2,,tfrac12), depois decresce steeper a 0.

Passo 7

Função (e) f(x)=e^-x^2.
Domínio R. Interceptos: (0,1). Par: sim, f(-x)=f(x).
Limites: limxtopminftyf(x)=0 (horizontal y=0).
Derivada:
f'(x)=-2x e^-x^2,
zero em x=0 (máximo global). Cresce em x<0, decresce em x>0.
Segunda derivada:
f''(x)=(-2+4x^2)e^-x^2,
inflexão em x=pm 1/raiz2.
Esboço: sino centrado em 0, pico em (0,1), caindo simetricamente aos dois lados.

Passo 8

Função (f) f(x)=x^4-2x^2.
Domínio R. Zeros em x=0 (multiplicidade 2) e x=pmraiz2.
Limites: limxtopminftyf(x)=+infty.
Derivada:
f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1),
críticos em -1,0,1. Sinal: decresce em (-infty,-1), cresce em ( -1,0), decresce em (0,1), cresce em (1,infty). Minimos em pm1 ( f(pm1)=-1), máximo local em 0 ( f(0)=0).
Segunda derivada:
f''(x)=12x^2-4,
inflexões em x=pm1raiz3.
Esboço: “W” simétrico com vales em pm1 e pico em 0.

Passo 9

Função (g) f(x)=x^2-x+1x^2=1-1x+1x^2.
Domínio xneq0. Não há intercepto em y; intercepto em x se x^2-x+1=0 (não há raízes reais), logo nunca cruza x.
Limites: limxto0^pmf(x)=+infty; limxtopminftyf(x)=1 (horizontal y=1).
Derivada:
f'(x)=x-2x^3,
zero em x=2 (mínimo local em (2,,1-tfrac12+tfrac14=3/4)). Sinal: decresce até 0, cresce em (0,2), decresce após 2.
Segunda derivada:
f''(x)=2(3-x)x^4,
inflexão em x=3.
Esboço: dois ramos em x<0 e x>0, cada um caindo de +infty até a reta y=1, com vale em (2,3/4).

Passo 10

Função (h) f(x)=x e^-3x.
Domínio R. Intercepto em (0,0).
Limites: limxto+inftyf(x)=0; limxto-inftyf(x)=-infty. Sem assimptota vertical.
Derivada:
f'(x)=e^-3x-3x e^-3x=e^-3x(1-3x),
zero em x=1/3 (máximo local). Cresce até 1/3, depois decresce.
Segunda derivada:
f''(x)=e^-3x(9x-6),
inflexão em x=2/3.
Esboço: ramo vem do -infty, cruza em 0, atinge pico em (tfrac13,tfrac13e^-1), e decai para 0.

Passo 11

Função (i) f(x)=x^2-3x-2.
Domínio xneq2. Dividindo,
f(x)=x+2+1x-2,
assimptota oblíqua y=x+2 e vertical x=2.
Interceptos: f(0)=-3-2=1,5 em y; f(x)=0implies x^2-3=0implies x=pmraiz3.
Derivada:
f'(x)=1-1(x-2)^2,
zeros em x=2pm1 (i.e. 1 e 3), dando um mínimo e um máximo locais.
Segunda derivada:
f''(x)=2(x-2)^3,
inflexão em x=2.
Esboço: duas “ramificações”, cada uma próxima da reta y=x+2, com ajuste em x=2.

Passo 12

Função (j) f(x)=e^x1+e^x.
Domínio R. Intercepto em (0,1/2).
Limites: limxto-inftyf(x)=0, limxto+inftyf(x)=1 (assimptotas horizontais).
Derivada:
f'(x)=e^x(1+e^x)-e^xcdot e^x(1+e^x)^2=e^x(1+e^x)^2>0,
sempre crescente.
Segunda derivada: muda de sinal em x=0, inflexão em (0,1/2).
Esboço: curva logística em formato de “S”.

Passo 13

Função (k) f(x)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2.
Domínio R. Zeros em x=pm1 (mínimos globais de valor 0). Intercepto em y=1.
Derivada:
f'(x)=4x(x^2-1),
zeros em -1,0,1. Sinal: decresce em (-infty,-1), cresce em (-1,0), decresce em (0,1), cresce em (1,infty). Mínimos em pm1, máximo local em (0,1).
Segunda derivada:
f''(x)=12x^2-4,
inflexão em x=pmtfrac1raiz3.
Esboço: “W” com vales em pm1 e topo em 0.

Resposta

Os esboços seguem as curvas descritas em cada passo, mostrando domínio, interceptos, assimptotas, extremos e concavidade conforme a análise acima.

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