Esboce o gráfico.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar os gráficos das funções a)–k). O conteúdo mobilizado envolve estudo de função real: domínio, interceptos, limites (para assimptotas), derivada primeira (monotonia e extremos), derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão).
Passo 2
O método geral para cada função
é:
. Determinar o domínio de
.
. Calcular interceptos com eixo
(resolver
) e eixo
(
, se existir).
. Estudar limites
em pontos proibidos ou
para detectar assimptotas verticais e horizontais (ou oblíquas).
. Encontrar
, achar zeros de
e montar o sinal de
para determinar intervalos de crescimento/decrescimento e pontos críticos (máximos/mínimos locais).
. Calcular
, achar zeros de
e montar o sinal de
para descobrir concavidade para cima/para baixo e pontos de inflexão.
. Usar todas essas informações para traçar um esboço do gráfico.
Passo 3
Função (a)
.
O domínio é . Observando
O domínio é
tem-se intercepto em
:
, isto é
, e intercepto em
:
. Não há assimptotas.
Derivada:
Derivada:
logo
é estritamente crescente (toque horizontal em
mas sem mudar de sinal). Assim, não há máximos nem mínimos locais, só inflexão em
.
Segunda derivada:
Segunda derivada:
muda de sinal em
: concavidade para baixo em
, para cima em
.
Esboço: um cubo deslocado, ponto de inflexão em , passa por
.
Esboço: um cubo deslocado, ponto de inflexão em
Passo 4
Função (b)
.
Domínio . Interceptos:
em
;
tem uma raiz real aproximada, mas para esboço basta saber que cruza o eixo
uma vez.
Derivada:
Domínio
Derivada:
zeros em
(
, máximo local) e
(
, mínimo local). Sinal: cresce até
, decresce até
, cresce para
.
Segunda derivada:
Segunda derivada:
inflexão em
. Concavidade muda de baixo para cima.
Esboço: típico “S” de um cúbico com max em , min em
.
Esboço: típico “S” de um cúbico com max em
Passo 5
Função (c)
.
Domínio . Intercepto em
:
dá
. Não há intercepto em
além de
.
Limites: (assimptota vertical
);
(assimptota horizontal
).
Derivada:
Domínio
Limites:
Derivada:
sempre crescente.
Segunda derivada:
Segunda derivada:
concava para baixo se
, para cima se
.
Esboço: função monótona crescente com um “atalho” em , aproximando
.
Esboço: função monótona crescente com um “atalho” em
Passo 6
Função (d)
.
Domínio . Intercepto em
: solver
, ponto
. Sem intercepto em
pois
não existe.
Limites: (vertical
);
(horizontal
).
Derivada:
Domínio
Limites:
Derivada:
zero em
(extremo). Sinal: decresce até
, cresce em
, decresce em
.
Segunda derivada:
Segunda derivada:
inflexão em
.
Esboço: ramo em caindo de
a
, ramo em
sobe de
a
, depois decresce steeper a
.
Esboço: ramo em
Passo 7
Função (e)
.
Domínio . Interceptos:
. Par: sim,
.
Limites: (horizontal
).
Derivada:
Domínio
Limites:
Derivada:
zero em
(máximo global). Cresce em
, decresce em
.
Segunda derivada:
Segunda derivada:
inflexão em
.
Esboço: sino centrado em , pico em
, caindo simetricamente aos dois lados.
Esboço: sino centrado em
Passo 8
Função (f)
.
Domínio . Zeros em
(multiplicidade
) e
.
Limites: .
Derivada:
Domínio
Limites:
Derivada:
críticos em
. Sinal: decresce em
, cresce em
, decresce em
, cresce em
. Minimos em
(
), máximo local em
(
).
Segunda derivada:
Segunda derivada:
inflexões em
.
Esboço: “W” simétrico com vales em e pico em
.
Esboço: “W” simétrico com vales em
Passo 9
Função (g)
.
Domínio . Não há intercepto em
; intercepto em
se
(não há raízes reais), logo nunca cruza
.
Limites: ;
(horizontal
).
Derivada:
Domínio
Limites:
Derivada:
zero em
(mínimo local em
). Sinal: decresce até
, cresce em
, decresce após
.
Segunda derivada:
Segunda derivada:
inflexão em
.
Esboço: dois ramos em e
, cada um caindo de
até a reta
, com vale em
.
Esboço: dois ramos em
Passo 10
Função (h)
.
Domínio . Intercepto em
.
Limites: ;
. Sem assimptota vertical.
Derivada:
Domínio
Limites:
Derivada:
zero em
(máximo local). Cresce até
, depois decresce.
Segunda derivada:
Segunda derivada:
inflexão em
.
Esboço: ramo vem do , cruza em
, atinge pico em
, e decai para
.
Esboço: ramo vem do
Passo 11
Função (i)
.
Domínio . Dividindo,
Domínio
assimptota oblíqua
e vertical
.
Interceptos: em
;
.
Derivada:
Interceptos:
Derivada:
zeros em
(i.e.
e
), dando um mínimo e um máximo locais.
Segunda derivada:
Segunda derivada:
inflexão em
.
Esboço: duas “ramificações”, cada uma próxima da reta , com ajuste em
.
Esboço: duas “ramificações”, cada uma próxima da reta
Passo 12
Função (j)
.
Domínio . Intercepto em
.
Limites: ,
(assimptotas horizontais).
Derivada:
Domínio
Limites:
Derivada:
sempre crescente.
Segunda derivada: muda de sinal em , inflexão em
.
Esboço: curva logística em formato de “S”.
Segunda derivada: muda de sinal em
Esboço: curva logística em formato de “S”.
Passo 13
Função (k)
.
Domínio . Zeros em
(mínimos globais de valor
). Intercepto em
.
Derivada:
Domínio
Derivada:
zeros em
. Sinal: decresce em
, cresce em
, decresce em
, cresce em
. Mínimos em
, máximo local em
.
Segunda derivada:
Segunda derivada:
inflexão em
.
Esboço: “W” com vales em e topo em
.
Esboço: “W” com vales em
Resposta
Os esboços seguem as curvas descritas em cada passo, mostrando domínio, interceptos, assimptotas, extremos e concavidade conforme a análise acima.