Esboce o gráfico de cada função abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
Este é um polinômio de grau
, par e suave em todo
. Para esboçar precisamos de domínio, interceptos, simetria, extremos (via primeira derivada), concavidade e pontos de inflexão (via segunda derivada) e comportamento nos extremos.
Passo 2
Domínio e interceptos.
O domínio é todo . Os zeros vêm de
O domínio é todo
O intercepto em
é
. Além disso, como
a função é par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Extremos pelo teste da primeira derivada.
Logo
em
e
.
Avalia\c{c}~oes:
Avalia\c{c}~oes:
Para classificar:
-
m’\inimo local em . -
m’aximos locais em .
Passo 4
Concavidade e pontos de inflexão pela segunda derivada.
Temos inflexão quando
:
Nesses pontos
Para
,
(côncava para cima); para
,
(côncava para baixo).
Passo 5
Comportamento em
.
Como o termo dominante é , temos
Como o termo dominante é
Isso indica que as “pontas” do gráfico descem infinitamente.
Passo 6
Esboço qualitativo.
Juntando tudo:
– Domínio .
– Zeros em .
– Mínimo local em .
– Máximos locais em .
– Pontos de inflexão em .
– Gráfico simétrico em relação a .
– Pontas descem pois em
.
Juntando tudo:
– Domínio
– Zeros em
– Mínimo local em
– Máximos locais em
– Pontos de inflexão em
– Gráfico simétrico em relação a
– Pontas descem pois
O resultado é uma curva em “W” invertido, com um vale em
, dois picos em
, inflexões entre esses pontos, interceptando o eixo
novamente em
e depois caindo para
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva par que:
– Tem mínimo local em .
– Tem máximos locais em .
– Passa por e por
.
– Possui inflexões em .
– Cai para quando
.
– Tem mínimo local em
– Tem máximos locais em
– Passa por
– Possui inflexões em
– Cai para