Esboce o gráfico de cada função abaixo.
f(x)=8 x^2-x^4

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=8x^2-x^4
Este é um polinômio de grau 4, par e suave em todo R. Para esboçar precisamos de domínio, interceptos, simetria, extremos (via primeira derivada), concavidade e pontos de inflexão (via segunda derivada) e comportamento nos extremos.

Passo 2

Domínio e interceptos.
O domínio é todo R. Os zeros vêm de
8x^2-x^4=0 ;Longrightarrow; x^2(8 - x^2)=0 ;Longrightarrow; x=0,;pmraiz8=pm2raiz2
O intercepto em y é f(0)=0. Além disso, como
f(-x)=8(-x)^2-(-x)^4=8x^2-x^4=f(x),
a função é par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Extremos pelo teste da primeira derivada.
f'(x)=ddxl(8x^2-x^4r)=16x-4x^3=4x(4-x^2)
Logo f'(x)=0 em x=0 e x=pm2.
Avalia\c{c}~oes:
f(0)=0, f(pm2)=8cdot4-16=32-16=16
Para classificar:
  • f''(0)=16-12cdot0^2=16>0 Rightarrow m’\inimo local em (0,0).
  • f''(pm2)=16-12cdot4=16-48=-32<0 Rightarrow m’aximos locais em l(pm2,16r).

Passo 4

Concavidade e pontos de inflexão pela segunda derivada.
f''(x)=ddx(16x-4x^3)=16-12x^2
Temos inflexão quando f''(x)=0:
16-12x^2=0 ;Longrightarrow; x^2=1612=43 ;Longrightarrow; x=pm2raiz3
Nesses pontos
f!l(pm2raiz3r) =8l(43r)-l(43r)^2 =323-169 =809approx8,89
Para lvert xrvert<2/raiz3, f''>0 (côncava para cima); para lvert xrvert>2/raiz3, f''<0 (côncava para baixo).

Passo 5

Comportamento em xtopminfty.
Como o termo dominante é -x^4, temos
limxtopminftyf(x)=-infty
Isso indica que as “pontas” do gráfico descem infinitamente.

Passo 6

Esboço qualitativo.
Juntando tudo:
– Domínio R.
– Zeros em x=0,pm2raiz2.
– Mínimo local em (0,0).
– Máximos locais em (pm2,16).
– Pontos de inflexão em l(pm2/raiz3,80/9r).
– Gráfico simétrico em relação a y.
– Pontas descem pois fto-infty em pminfty.
O resultado é uma curva em “W” invertido, com um vale em (0,0), dois picos em (pm2,16), inflexões entre esses pontos, interceptando o eixo x novamente em pm2raiz2 e depois caindo para -infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=8x^2-x^4 é uma curva par que:
– Tem mínimo local em (0,0).
– Tem máximos locais em (pm2,16).
– Passa por x=0 e por x=pm2raiz2.
– Possui inflexões em l(pm2/raiz3,80/9r).
– Cai para -infty quando xtopminfty.

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