Esboce o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=4 \cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função trigonométrica
f(x) = 4\cos(2x).
O conteúdo aqui é o estudo de amplitude, período e pontos notáveis de uma cossenoide.

Passo 2

Determine a amplitude. A amplitude é o valor máximo em módulo que a função atinge.
Para f(x)=A\cos(\dots), a amplitude é \lvert A\rvert.
Aqui A=4, logo a amplitude é
4.

Passo 3

Calcule o período. O período de \cos(Bx) é dado por
T = \frac{2\pi}{\lvert B\rvert}.
Como em f(x) temos B=2, o período é
T = \frac{2\pi}{2} = \pi.

Passo 4

Encontre os pontos chave num período, por exemplo em [0,\pi]:
  • Em x=0: f(0) = 4\cos(0) = 4\cdot1 = 4.
  • Em x = \frac{\pi}{4}: f\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = 4\cos\!\Bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = 4\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 4\cdot0 = 0.
  • Em x = \frac{\pi}{2}: f\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = 4\cos\!(\pi) = 4\cdot(-1) = -4.
  • Em x = \frac{3\pi}{4}: f\!\Bigl(\tfrac{3\pi}{4}\Bigr) = 4\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = 4\cdot0 = 0.
  • Em x = \pi: f(\pi) = 4\cos(2\pi) = 4\cdot1 = 4.

Passo 5

Com amplitude 4, período \pi e esses pontos, esboce a cossenoide:
  • Marque em x=0 o ponto (0,4).
  • Em \tfrac{\pi}{4} e \tfrac{3\pi}{4} marque zero.
  • Em \tfrac{\pi}{2} marque (\tfrac{\pi}{2},-4).
  • Em \pi retorne ao máximo (\pi,4).
    Una suavemente esses pontos em forma de onda periódica, estendendo para a esquerda e direita de modo idêntico a cada intervalo de comprimento \pi.

Resposta

O gráfico de f(x)=4\cos(2x) é uma onda cossenoidal de amplitude 4 e período \pi, passando pelos pontos-chave
(0,4),\;\bigl(\tfrac{\pi}{4},0\bigr),\;\bigl(\tfrac{\pi}{2},-4\bigr),\;\bigl(\tfrac{3\pi}{4},0\bigr),\;(\pi,4),
repetindo esse padrão indefinidamente.

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