Esboce o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=\operatorname{sec} \left(\frac{x}{2}\right)+3

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+3,
que é obtido a partir da função básica g(u)=\operatorname{sec}(u) aplicando-se as transformações:
– substituição u=\tfrac{x}{2} (altera o período e as assíntotas verticais),
– deslocamento vertical de +3.

Passo 2

Analisando g(u)=\operatorname{sec}(u)=\tfrac{1}{\cos(u)}:
– período em u igual a 2\pi;
– assíntotas verticais em
u = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
onde \cos(u)=0;
– valores principais: \operatorname{sec}(0)=1, \operatorname{sec}(\pi)= -1.

Passo 3

Fazendo u=\tfrac{x}{2}:
– o período em x fica
\Delta x \text{ tal que } \Delta u=2\pi \quad\Longrightarrow\quad \Delta x=2\pi\cdot2=4\pi;
– as assíntotas surgem quando
\tfrac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = (2k+1)\,\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Agora deslocamos verticalmente em +3. Logo:
– o gráfico de \operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) sobe em 3 unidades;
– a imagem fica
f(x)\in (-\infty,\,3-1]\;\cup\;[\,3+1,\infty) = (-\infty,2]\;\cup\;[4,\infty).

Passo 5

Vamos identificar alguns pontos-chaves num período típico, digamos entre x=-\pi e x=3\pi:
– em x=0:
f(0)=\operatorname{sec}(0)+3=1+3=4;
– em x=2\pi:
f(2\pi)=\operatorname{sec}\bigl(\pi\bigr)+3=-1+3=2;
– nas bordas x\to -\pi^+ ou x\to \pi^-, \tfrac{x}{2}\to\pm\tfrac{\pi}{2} e \operatorname{sec}\to\pm\infty, gerando assíntotas verticais em x=\pm\pi;
– semelhante em x\to\pi^+ ou x\to3\pi^-, gerando assíntotas em x=\pi e x=3\pi.

Passo 6

Descrevendo o esboço em cada intervalo de assíntota a assíntota:
Intervalo (-\,\pi,\pi)
\cos(x/2)>0 então \operatorname{sec}(x/2)>0 e f(x)\ge4;
– em x\to -\pi^+, f\to -\infty; cresce até f(0)=4; continua até f\to+\infty quando x\to\pi^-.
Intervalo (\pi,3\pi)
\cos(x/2)<0 então \operatorname{sec}(x/2)<0 e f(x)\le2;
– em x\to\pi^+, f\to+\infty; decresce até f(2\pi)=2; segue até f\to -\infty quando x\to3\pi^-.

Passo 7

Repetindo esse padrão a cada 4\pi e marcando as assíntotas em
x=(2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
obtém-se o esboço final do gráfico de f(x).

Resposta

O gráfico de f(x)=\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+3 é um “túnel” de ramos de secante deslocados para cima em 3 unidades, com:
  1. assíntotas verticais em x=\pm\pi,\pm3\pi,\dots;
  2. período igual a 4\pi;
  3. ramo em (-\,\pi,\pi) que vai de -\infty em x\to-\,\pi^+, atinge f(0)=4, e volta a +\infty em x\to\pi^-;
  4. ramo em (\pi,3\pi) que vai de +\infty em x\to\pi^+, atinge f(2\pi)=2, e cai a -\infty em x\to3\pi^-;
    e se repete com período 4\pi.

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