Esboce o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=-3 \operatorname{sen}(2 x-2 \pi)+2

Passo 1

O enunciado pede esboçar o gráfico da função
f(x) = -3\sin(2x - 2\pi) + 2.
O conteúdo aqui é transformações de uma senóide: vamos identificar amplitude, período, deslocamentos horizontal e vertical e reflexão para montar o esqueleto do gráfico.

Passo 2

A amplitude é \lvert -3\rvert = 3.
O período de \sin(2x) é
\frac{2\pi}{2} = \pi.
A expressão 2x-2\pi pode ser vista como 2(x-\pi), indicando deslocamento horizontal de \pi para a direita.
O sinal negativo em frente ao 3 gera reflexão vertical.
O +2 desloca o gráfico 2 unidades para cima.

Passo 3

Reescrevendo em forma canônica:
f(x) = -3 \,\sin\bigl(2(x-\pi)\bigr) + 2.
Vamos marcar um ciclo completo começando em x=\pi:
– Em x=\pi, temos \sin(0)=0 e f(\pi)=2.
– Em x=\pi+\tfrac{\pi}{4}, \sin(\tfrac{\pi}{2})=1 e f=-3\cdot1+2=-1.
– Em x=\pi+\tfrac{\pi}{2}, \sin(\pi)=0 e f=2.
– Em x=\pi+\tfrac{3\pi}{4}, \sin(\tfrac{3\pi}{2})=-1 e f=3+2=5.
– Em x=\pi+\pi=2\pi, \sin(2\pi)=0 e f=2.

Passo 4

Com esses pontos-chave e sabendo que a curva é suave e periódica, esboçamos uma senóide invertida de amplitude 3, variando entre -1 e 5, com período \pi, centrada em y=2 e deslocada \pi à direita. O esqueleto do gráfico passa por
(\pi,2),\;(\,\pi+\tfrac{\pi}{4},-1),\;(\,\pi+\tfrac{\pi}{2},2),\;(\,\pi+\tfrac{3\pi}{4},5),\;(2\pi,2),
e esse padrão se repete para todo x.

Resposta

O gráfico de f(x)=-3\sin(2x-2\pi)+2 é uma senóide com amplitude 3, período \pi, reflexão vertical, deslocada \pi para a direita e 2 para cima, passando pelos pontos indicados e repetindo-se periodicamente.

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