Qual o volume da região entre o gráfico de f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2} e o disco x^{2}+y^{2} \leq 16 ?

Passo 1

O enunciado pede o volume da região entre o gráfico de f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2} e o disco dado por x^{2}+y^{2}\leq 16.
Informações importantes que o enunciado fornece:
  1. A função a ser integrada é \;f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2}\;.
  2. A região de integração é o disco centrado na origem com raio 4, ou seja \;x^{2}+y^{2}\leq 16\;.
    Portanto, o que precisamos calcular é o integral duplo
\iint_{x^{2}+y^{2}\le 16} \bigl(x^{2}-x y+y^{2}\bigr)\,dA,
que representa o volume pedido.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? O domínio é um disco (simétrico em torno da origem) e a função é uma forma quadrática em x e y. Em coordenadas polares os termos envolvendo x^{2}+y^{2} ficam simples ( =r^{2}) e a região tem limites simples ( 0\le r\le 4, 0\le\theta\le 2\pi). Então vamos mudar para coordenadas polares.

Passo 3

Lembrete das coordenadas polares e do elemento de área: em polares,
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
e o elemento de área transforma-se como
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve intuição: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados dr e r\,d\theta, então a área é r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Vamos expressar o integrando em polares. Primeiro
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
O termo misto é
-xy = -\bigl(r\cos\theta\bigr)\bigl(r\sin\theta\bigr) = -r^{2}\cos\theta\sin\theta = -\frac{r^{2}}{2}\sin(2\theta).
Assim
x^{2}-xy+y^{2} = r^{2} - \frac{r^{2}}{2}\sin(2\theta) = r^{2}\Bigl(1-\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr).

Passo 5

Multiplicando pelo jacobiano dA=r\,dr\,d\theta, o integrando completo fica
\bigl(x^{2}-xy+y^{2}\bigr)\,dA = r^{3}\Bigl(1-\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr)\,dr\,d\theta.
Os limites são 0\le r\le 4 e 0\le\theta\le 2\pi. Portanto o volume é
\iint_{x^{2}+y^{2}\le 16} (x^{2}-xy+y^{2})\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} r^{3}\Bigl(1-\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Podemos separar a integral em produto de uma parte em \theta e outra em r, porque a expressão está fatorada:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} r^{3}\Bigl(1-\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr)\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi} \Bigl(1-\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr)\,d\theta\right) \left(\int_{0}^{4} r^{3}\,dr\right).

Passo 7

Calcule a integral em \theta. Note que
\int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi,
e
\int_{0}^{2\pi} \sin(2\theta)\,d\theta = \Bigl[-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\Bigr]_{0}^{2\pi} = -\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(4\pi)-\cos(0)\bigr)=0,
portanto
\int_{0}^{2\pi} \Bigl(1-\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr)\,d\theta = 2\pi - \tfrac{1}{2}\cdot 0 = 2\pi.
(A lógica: \sin(2\theta) tem média zero sobre um período completo.)

Passo 8

Calcule a integral radial:
\int_{0}^{4} r^{3}\,dr = \Bigl[\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{4} = \tfrac{4^{4}}{4} = \tfrac{256}{4} = 64.

Passo 9

Multiplique as duas partes:
\text{volume} = \bigl(2\pi\bigr)\bigl(64\bigr) = 128\pi.

Resposta

128\pi

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