Qual o volume da região entre o gráfico de
e o disco
?
Passo 1
O enunciado pede o volume da região entre o gráfico de
e o disco dado por
.
Informações importantes que o enunciado fornece:
Informações importantes que o enunciado fornece:
- A função a ser integrada é
- A região de integração é o disco centrado na origem com raio
, ou seja
Portanto, o que precisamos calcular é o integral duplo
que representa o volume pedido.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? O domínio é um disco (simétrico em torno da origem) e a função é uma forma quadrática em
e
. Em coordenadas polares os termos envolvendo
ficam simples (
) e a região tem limites simples (
,
). Então vamos mudar para coordenadas polares.
Passo 3
Lembrete das coordenadas polares e do elemento de área: em polares,
e o elemento de área transforma-se como
Breve intuição: um pequeno retângulo em
tem lados
e
, então a área é
.
Passo 4
Vamos expressar o integrando em polares. Primeiro
O termo misto é
Assim
Passo 5
Multiplicando pelo jacobiano
, o integrando completo fica
Os limites são
e
. Portanto o volume é
Passo 6
Podemos separar a integral em produto de uma parte em
e outra em
, porque a expressão está fatorada:
Passo 7
Calcule a integral em
. Note que
e
portanto
(A lógica:
tem média zero sobre um período completo.)
Passo 8
Calcule a integral radial:
Passo 9
Multiplique as duas partes: