Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Esse tipo de equação é da forma de Clairaut, onde se identifica
ficando
com
. Vamos usar a teoria de equações de Clairaut para encontrar a solução geral e a singular.
Passo 2
Na forma de Clairaut, a solução geral é obtida tomando
, constante arbitrária. Substituindo em
temos
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Para achar a solução singular (o envelope da família), derivamos a expressão
em relação a
e igualamos a zero:
Logo,
Passo 4
Substituímos
em
para obter a singular. Primeiro,
Somando tudo,
Resposta
A solução geral (família de retas) é
e a solução singular (envelope) é