Resolva as equações:
y=(x+4) \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y = (x+4)\,\frac{dy}{dx} + \biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^{2}.
Esse tipo de equação é da forma de Clairaut, onde se identifica
p = \frac{dy}{dx},
ficando
y = x\,p + f(p),
com f(p) = 4p + p^{2}. Vamos usar a teoria de equações de Clairaut para encontrar a solução geral e a singular.

Passo 2

Na forma de Clairaut, a solução geral é obtida tomando p=C, constante arbitrária. Substituindo em
y = x\,p + 4p + p^{2},
temos
y = C\,x + 4C + C^{2},
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Para achar a solução singular (o envelope da família), derivamos a expressão
y = x\,p + 4p + p^{2}
em relação a p e igualamos a zero:
\frac{\partial}{\partial p}\bigl(x\,p + 4p + p^{2}\bigr) = x + 4 + 2p = 0.
Logo,
2p = - (x+4) \quad\Longrightarrow\quad p = -\frac{x+4}{2}.

Passo 4

Substituímos p = -\tfrac{x+4}{2} em
y = x\,p + 4p + p^{2}
para obter a singular. Primeiro,
x\,p = -\frac{x(x+4)}{2}, \quad 4p = -2(x+4), \quad p^{2} = \frac{(x+4)^{2}}{4}.
Somando tudo,
y = -\frac{x(x+4)}{2} \;-\;2(x+4)\;+\;\frac{(x+4)^{2}}{4} = -\frac{(x+4)^{2}}{4}.

Resposta

A solução geral (família de retas) é
y = C\,x + 4C + C^{2},
e a solução singular (envelope) é
y = -\frac{(x+4)^{2}}{4}.

Exercícios relacionados