Resolva as equações:
x y d x+\left(2 x^{2}+3 y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde \displaystyle M(x,y)=x\,y e \displaystyle N(x,y)=2x^2+3y^2.
O conteúdo é equações exatas e fator integrante. Vamos verificar se é exata e, se não for, buscar um fator integrante.

Passo 2

Testamos a exatidão calculando as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 4x.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de y. Usamos o teste
\frac{N_x - M_y}{M} = \frac{4x - x}{x\,y} = \frac{3}{y},
que é função apenas de y. Logo, um fator integrante é
\mu(y) = \exp\biggl(\int \frac{3}{y}\,dy\biggr) = y^3.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y^3, obtendo
M^*(x,y)\,dx + N^*(x,y)\,dy = 0,
com
M^*(x,y) = x\,y^4, \qquad N^*(x,y) = (2x^2+3y^2)\,y^3 = 2x^2y^3 + 3y^5.
Agora verificamos que
\frac{\partial M^*}{\partial y} = 4x\,y^3, \qquad \frac{\partial N^*}{\partial x} = 4x\,y^3,
logo a equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M^* = x\,y^4.
Integramos em x:
\Phi(x,y) = \int x\,y^4\,dx = \tfrac{1}{2}x^2y^4 + h(y).
Derivando em y e igualando a N^*:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = 2x^2y^3 + h'(y) = 2x^2y^3 + 3y^5,
daí
h'(y) = 3y^5 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \tfrac{1}{2}y^6.

Passo 6

Portanto a função potencial é
\Phi(x,y) = \tfrac{1}{2}x^2y^4 + \tfrac{1}{2}y^6,
e a solução geral implícita vem de
\Phi(x,y) = C \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{2}x^2y^4 + \tfrac{1}{2}y^6 = C.
Multiplicando por 2 e simplificando, obtemos
x^2y^4 + y^6 = C'.

Resposta

x^2y^4 + y^6 = C.

Exercícios relacionados