Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem na forma
onde
e
.
O conteúdo é equações exatas e fator integrante. Vamos verificar se é exata e, se não for, buscar um fator integrante.
O conteúdo é equações exatas e fator integrante. Vamos verificar se é exata e, se não for, buscar um fator integrante.
Passo 2
Testamos a exatidão calculando as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. Usamos o teste
que é função apenas de
. Logo, um fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
com
Agora verificamos que
logo a equação é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos em
:
Derivando em
e igualando a
:
daí
Passo 6
Portanto a função potencial é
e a solução geral implícita vem de
Multiplicando por 2 e simplificando, obtemos