Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
- Explicite o domínio da função.
- Verifique se a função possui alguma simetria (se é par ou ímpar) ou se é periódica.
- Determine o valor de
se existir.
- Localize, se possível, as raízes de
.
- Calcule os limites de
para
e
.
- Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
- Encontre os pontos críticos, determine os pontos de máximo e mínimo e calcule os seus valores.
- Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexão.
- Calcule os limites laterais de
nos pontos
tais que
não é contínua em
ou se
não estiver definida, mas
for um extremo do domínio de
.
- Determine as assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
O conteúdo envolve análise de funções racionais: domínio, simetria, limites, derivadas para crescimento/decrescimento, extremos, concavidade, inflexões e assíntotas.
Passo 2
Para encontrar o domínio, lembramos que uma função racional só falha onde o denominador é zero. Aqui o denominador é
, que é sempre positivo para todo
. Portanto o domínio é
Passo 3
Para simetria, calculamos
. Como
e
, não é nem par nem ímpar. Também não há periodicidade.
Passo 4
O valor em zero é
As raízes vêm de anular o numerador
Passo 5
Para os limites no infinito, a parte de grau dominante em numerador e denominador é
. Assim
indicando assíntota horizontal
Passo 6
Para estudar crescimento, derivamos por quociente:
As raízes de
Passo 7
Analisando o sinal de
: decresce em
, cresce em
, decresce em
.
Logo há mínimo local em e máximo local em
. Calculando
Logo há mínimo local em
Passo 8
Para concavidade, derivamos de novo e estudamos o sinal de
. Encontramos mudanças de sinal em aproximadamente
e
, com pontos de inflexão em “
” e “
.”
Passo 9
A função é contínua em todo o domínio, sem pontos de descontinuidade nem limites laterais a verificar.
Não há assíntotas verticais (denominador nunca zera) e a única assíntota é a horizontal
Não há assíntotas verticais (denominador nunca zera) e a única assíntota é a horizontal
O esboço final mostra interceptos em
Resposta
O gráfico de
tem domínio
, interceptos em
, é decrescente em
, crescente em
, decrescente em
, com mínimo local em
e máximo local em
. Possui pontos de inflexão aproximados em
e
, é contínua em todo
e tem assíntota horizontal
.