Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
  • Explicite o domínio da função.
  • Verifique se a função possui alguma simetria (se é par ou ímpar) ou se é periódica.
  • Determine o valor de f(0) se existir.
  • Localize, se possível, as raízes de f.
  • Calcule os limites de f para x +infty e x -infty.
  • Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
  • Encontre os pontos críticos, determine os pontos de máximo e mínimo e calcule os seus valores.
  • Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexão.
  • Calcule os limites laterais de f nos pontos p tais que f não é contínua em p ou se f(p) não estiver definida, mas p for um extremo do domínio de f.
  • Determine as assíntotas.
    (e) f(x)=2 x^2+4 x2+x^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
f(x)=2x^2+4x2+x^2
O conteúdo envolve análise de funções racionais: domínio, simetria, limites, derivadas para crescimento/decrescimento, extremos, concavidade, inflexões e assíntotas.

Passo 2

Para encontrar o domínio, lembramos que uma função racional só falha onde o denominador é zero. Aqui o denominador é 2+x^2, que é sempre positivo para todo xinR. Portanto o domínio é
R

Passo 3

Para simetria, calculamos f(-x) = 2x^2-4x2+x^2. Como f(-x)neq f(x) e f(-x)neq -f(x), não é nem par nem ímpar. Também não há periodicidade.

Passo 4

O valor em zero é
f(0)=0+02+0=0
As raízes vêm de anular o numerador 2x^2+4x=2x(x+2)=0, logo x=0 e x=-2.

Passo 5

Para os limites no infinito, a parte de grau dominante em numerador e denominador é 2x^2/x^2=2. Assim
limxto+inftyf(x)=2,limxto-inftyf(x)=2,
indicando assíntota horizontal y=2.

Passo 6

Para estudar crescimento, derivamos por quociente:
f'(x)=(4x+4)(2+x^2)-(2x^2+4x)(2x)(2+x^2)^2 = -4x^2+8x+8(2+x^2)^2
As raízes de -4x^2+8x+8=0 são
x=1pmraiz3(approx -0.732,;2.732)

Passo 7

Analisando o sinal de f': decresce em ( -infty,1-raiz3), cresce em (1-raiz3,1+raiz3), decresce em (1+raiz3,+infty).
Logo há mínimo local em x=1-raiz3 e máximo local em x=1+raiz3. Calculando
f(1-raiz3)=1-raiz3approx -0.732, f(1+raiz3)=1+raiz3approx 2.732

Passo 8

Para concavidade, derivamos de novo e estudamos o sinal de f''. Encontramos mudanças de sinal em aproximadamente xapprox -1.57 e xapprox0.30, com pontos de inflexão em “ (xapprox -1.57,;fapprox -0.30)” e “ (xapprox 0.30,;fapprox 0.65).”

Passo 9

A função é contínua em todo o domínio, sem pontos de descontinuidade nem limites laterais a verificar.
Não há assíntotas verticais (denominador nunca zera) e a única assíntota é a horizontal

O esboço final mostra interceptos em y=2, extremos em x=-2,0 e em (1-raiz3,1-raiz3), concavidade alternando nos intervalos definidos pelos pontos de inflexão, e de longe aproximando-se de (1+raiz3,1+raiz3).

Resposta

O gráfico de f(x)=tfrac2x^2+4x2+x^2 tem domínio R, interceptos em x=-2,0, é decrescente em ( -infty,1-raiz3), crescente em (1-raiz3,1+raiz3), decrescente em (1+raiz3,+infty), com mínimo local em (1-raiz3,1-raiz3) e máximo local em (1+raiz3,1+raiz3). Possui pontos de inflexão aproximados em (-1.57,-0.30) e (0.30,0.65), é contínua em todo R e tem assíntota horizontal y=2.

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