Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
f(x)=x-\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x)=x-\sin x.
Vamos usar análise de derivadas para determinar monotonicidade, pontos de tangente horizontal, concavidade, pontos de inflexão e comportamento assintótico.

Passo 2

Domínio e monotonicidade.
O domínio é \mathbb{R}. A derivada é
f'(x)=1-\cos x.
Como \cos x\le1 para todo x, segue que
f'(x)=1-\cos x\ge0,
com igualdade somente quando \cos x=1, i.e.\ x=2k\pi, k\in\mathbb{Z}. Logo f é crescente em \mathbb{R} e tem tangentes horizontais em x=2k\pi.

Passo 3

Concavidade e pontos de inflexão.
A segunda derivada é
f''(x)=\sin x.
  • Para x\in(2k\pi,(2k+1)\pi), \sin x>0 f é côncava para cima.
  • Para x\in((2k+1)\pi,2(k+1)\pi), \sin x<0 f é côncava para baixo.
    Em x=k\pi temos \sin x=0, logo há pontos de inflexão em x=k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Comportamento para \boldsymbol{x\to\pm\infty}.
Como \sin x fica sempre em [-1,1],
x-1\le f(x)\le x+1
e
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=1.
Assim, a reta y=x funciona como “direção assintótica” e a curva oscila entre as bandas y=x\pm1.

Passo 5

Pontos notáveis e esboço.
Marcar no gráfico: \,f(0)=0,\;f(\pi)=\pi,\;f(\tfrac\pi2)=\tfrac\pi2-1,\;f(\tfrac{3\pi}2)=\tfrac{3\pi}2+1.
Traçar a reta y=x como guia, depois desenhar uma curva suave e crescente que:
  • fica sempre entre as linhas y=x-1 e y=x+1,
  • tem tangentes horizontais em x=2k\pi,
  • muda de concavidade em x=k\pi.

Resposta

O gráfico de f(x)=x-\sin x é uma curva crescente em \mathbb{R}, oscilando suavemente em torno da reta y=x, presa entre y=x-1 e y=x+1, com tangentes horizontais em x=2k\pi e pontos de inflexão em x=k\pi k\in\mathbb{Z}.

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