Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
Vamos usar análise de derivadas para determinar monotonicidade, pontos de tangente horizontal, concavidade, pontos de inflexão e comportamento assintótico.
Passo 2
Domínio e monotonicidade.
O domínio é . A derivada é
O domínio é
Como
para todo
, segue que
com igualdade somente quando
, i.e.\
,
. Logo
é crescente em
e tem tangentes horizontais em
.
Passo 3
Concavidade e pontos de inflexão.
A segunda derivada é
A segunda derivada é
- Para
, ⇒ é côncava para cima. - Para
, ⇒ é côncava para baixo.
Emtemos , logo há pontos de inflexão em , .
Passo 4
Comportamento para
.
Como fica sempre em
,
Como
e
Assim, a reta
funciona como “direção assintótica” e a curva oscila entre as bandas
.
Passo 5
Pontos notáveis e esboço.
Marcar no gráfico: .
Traçar a reta como guia, depois desenhar uma curva suave e crescente que:
Marcar no gráfico:
Traçar a reta
- fica sempre entre as linhas
e , - tem tangentes horizontais em
, - muda de concavidade em
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva crescente em
, oscilando suavemente em torno da reta
, presa entre
e
, com tangentes horizontais em
e pontos de inflexão em
.