Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções.
f(x)=1x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=1x
O conteúdo aqui é estudo de função racional simples: vamos precisar determinar domínio, assíntotas, limites em pontos críticos, monotonia e simetria para guiar o desenho.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas. O denominador nunca pode ser zero, logo o domínio é
xinRmid xneq 0
Como xto0, lvert f(x)rverttoinfty, temos assíntota vertical em
x=0
Como xtopminfty, f(x)to0, há assíntota horizontal em
y=0

Passo 3

Estudar limites e monotonia para cada ramo.
Para x>0:
limxto0^+f(x)=+infty,limxto+inftyf(x)=0^+,
e f'(x)=-1/x^2<0, ou seja, o ramo em x>0 é decrescente do alto à direita para o eixo x.
Para x<0:
limxto0^-f(x)=-infty,limxto-inftyf(x)=0^-,
e também f'(x)<0, então o ramo em x<0 é decrescente do baixo à esquerda para o eixo x.

Passo 4

Verificar simetria e pontos notáveis. Como
f(-x)=-1x=-f(x),
a função é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem. Alguns pontos fáceis de marcar:
,(1,1),,(2,tfrac12),,(tfrac12,2) no primeiro quadrante;
(-1,-1),,(-2,-tfrac12),,(-tfrac12,-2) no terceiro quadrante.

Passo 5

Com domínio, assíntotas, limites, monotonia, simetria e pontos, traçamos dois ramos de hipérbole equilátera: um no primeiro quadrante aproximando-se de x=0 e de y=0, outro no terceiro quadrante simetricamente.

Resposta

O gráfico de f(x)=1x é a hipérbole equilátera com assíntotas em x=0 e y=0, com ramo decrescente no primeiro quadrante e ramo decrescente, simétrico pela origem, no terceiro quadrante.

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