Resolver as equações seguintes:
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
. O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes e o que vamos usar é: (i) solução da homogênea via equação característica e (ii) método dos coeficientes indeterminados para a parte não homogênea.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
e montamos a equação característica:
Resolvendo, achamos
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
da equação completa, fazemos o palpite padrão para termos polinomiais de grau 1:
A escolha é válida porque nem
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
$$y_p’=A,
\quad y_p’’=0.
0-3A+2(Ax+B)=x
\quad\2Ax+2B-3A=x.
2A=1\implies A=\tfrac12,\quad 2B-3A=0\implies B=\tfrac{3A}{2}=\tfrac34.$$
Passo 5
A solução geral da equação é a soma da parte homogênea com a particular, ou seja:
Resposta
y(x)=C_1ex+C_2e{2x}+\tfrac12x+\tfrac34