Resolver as equações seguintes:

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea y''-3y'+2y=x. O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes e o que vamos usar é: (i) solução da homogênea via equação característica e (ii) método dos coeficientes indeterminados para a parte não homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos y''-3y'+2y=0 e montamos a equação característica:
r^2-3r+2=0
Resolvendo, achamos r=1 e r=2. Logo, a solução homogênea é
yh=C1e^x+C2e^2x

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp da equação completa, fazemos o palpite padrão para termos polinomiais de grau 1:
yp=Ax+B
A escolha é válida porque nem e^x nem e^2x se confundem com polinômios.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
$$y_p’=A,
\quad y_p’’=0. yp'=A, yp''=0á0-3A+2(Ax+B)=x
\quad\2Ax+2B-3A=x. y''-3y'+2y=xô2A=1\implies A=\tfrac12,\quad 2B-3A=0\implies B=\tfrac{3A}{2}=\tfrac34.$$

Passo 5

A solução geral da equação é a soma da parte homogênea com a particular, ou seja:
y(x)=C1e^x+C2e^2x+12x+34

Resposta

y(x)=C_1ex+C_2e{2x}+\tfrac12x+\tfrac34

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