Seja f: R^2 R a função definida por
f(x, y)=4-2 x+3 y
Seja A o subconjunto de R^2 definido por
A=(x, y) in R^2: 4 x^2+9 y^2 <= 36
Encontrar os extremos de f na região A.

Passo 1

A questão pede os extremos de uma função linear em uma região elíptica fechada. O conteúdo é otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange) em sobre . Vamos precisar entender por que não há extremos no interior e usar Lagrange na fronteira.

Passo 2

A função é linear, então seu gradiente $\nabla f=(-2,3)$ é constante e nunca zero. Logo não há pontos críticos no interior de nabla f=(-2,3), pois para ter extremo interno precisaríamos de $\nabla f=0$.

Passo 3

Na fronteira de nabla f=lambdanabla g temos a curva -2 =lambdacdot8x, 3=lambdacdot18y, 4x^2+9y^2=36 . Pelos multiplicadores de Lagrange, impomos $\nabla f=\lambda\nabla g$, ou seja:

Passo 4

Da primeira equação vem $x=-1/(4\lambda)$ e da segunda $y=1/(6\lambda)$. Substituindo na restrição:
x=-1/(4lambda)

Passo 5

Calculando:
$$4\frac{1}{16\lambda2}+9\frac{1}{36\lambda2} =36 \\ \frac{1}{4\lambda2}+\frac{1}{4\lambda2}=36 \\ \frac{1}{2\lambda^2}=36 \\
\lambda^2=\frac{1}{72},\quad \lambda=\pm\frac{1}{6\sqrt{2}}.$$

Passo 6

Para x=-14lambda=-3raiz22, y=16lambda=raiz2 temos

Passo 7

Para x=3raiz22, y=-raiz2 vem

Passo 8

Finalmente, avaliando $f(x,y)=4-2x+3y$: no ponto $( -\tfrac{3\sqrt2}{2},\sqrt2 )$
f(x,y)=4-2x+3y e no ponto $( \tfrac{3\sqrt2}{2},-\sqrt2 )$
( -tfrac3raiz22,raiz2 )

Resposta

Máximo de $f=4+6\sqrt2$ em $(x,y)=(-\tfrac{3\sqrt2}{2},\sqrt2)$ e mínimo de $f=4-6\sqrt2$ em $(x,y)=(\tfrac{3\sqrt2}{2},-\sqrt2)$.

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