Seja
a função definida por
Seja
o subconjunto de
definido por
Encontrar os extremos de
na região
.
Passo 1
A questão pede os extremos de uma função linear em uma região elíptica fechada. O conteúdo é otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange) em
sobre
. Vamos precisar entender por que não há extremos no interior e usar Lagrange na fronteira.
Passo 2
A função é linear, então seu gradiente $\nabla f=(-2,3)$ é constante e nunca zero. Logo não há pontos críticos no interior de
, pois para ter extremo interno precisaríamos de $\nabla f=0$.
Passo 3
Na fronteira de
temos a curva
. Pelos multiplicadores de Lagrange, impomos $\nabla f=\lambda\nabla g$, ou seja:
Passo 4
Da primeira equação vem $x=-1/(4\lambda)$ e da segunda $y=1/(6\lambda)$. Substituindo na restrição:
Passo 5
Calculando:
$$4\frac{1}{16\lambda2}+9\frac{1}{36\lambda2} =36 \\ \frac{1}{4\lambda2}+\frac{1}{4\lambda2}=36 \\ \frac{1}{2\lambda^2}=36 \\
\lambda^2=\frac{1}{72},\quad \lambda=\pm\frac{1}{6\sqrt{2}}.$$
Passo 6
Para
temos
Passo 7
Para
vem
Passo 8
Finalmente, avaliando $f(x,y)=4-2x+3y$: no ponto $( -\tfrac{3\sqrt2}{2},\sqrt2 )$
Resposta
Máximo de $f=4+6\sqrt2$ em $(x,y)=(-\tfrac{3\sqrt2}{2},\sqrt2)$ e mínimo de $f=4-6\sqrt2$ em $(x,y)=(\tfrac{3\sqrt2}{2},-\sqrt2)$.