Esboce o gráfico de f e calcule o seu limite quando x tende a 1, da função f definida por:
f(x)=c 4-x^2, se x<1 2, se x=1 2+x^2, se x>1

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= 4 - x^2, & x<1, 2, & x=1, 2 + x^2, & x>1,
e pede (i) esboçar o gráfico de f e (ii) calcular limxto1f(x). O conteúdo é análise de limites e continuidade em funções definidas por partes.

Passo 2

Para esboçar f note que:
  1. Para x<1 temos a parábola invertida y=4-x^2. Em particular, quando xto1^- ela se aproxima de
    4 - 1^2 = 3,
    mas em x=1 esse ramo não está definido, então desenhe um círculo aberto em (1,3).
  2. Em x=1 há um ponto isolado f(1)=2. Desenhe um ponto cheio em (1,2).
  3. Para x>1 temos a parábola voltada para cima y=2+x^2. Quando xto1^+ ela também se aproxima de
    2 + 1^2 = 3,
    mas sem estar definida em x=1, então coloque outro círculo aberto em (1,3).
O esboço mostra duas parábolas que se encontram em (1,3) por círculos abertos e um ponto cheio abaixo, em (1,2).

Passo 3

Calcule o limite pela esquerda:
limxto1^-f(x) =limxto1^-l(4 - x^2r) =4 - 1^2 =3

Passo 4

Calcule o limite pela direita:
limxto1^+f(x) =limxto1^+l(2 + x^2r) =2 + 1^2 =3

Passo 5

Como os limites lateral esquerdo e direito coincidem em 3, concluímos que
limxto1f(x)=3

Resposta

limxto1f(x)=3.

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