Se
\operatorname{tg}(x)+\operatorname{cotg}(x)=5
, o valor de
\operatorname{tg}^{2}(x)+\operatorname{cotg}^{2}(x)
é:

Passo 1

O enunciado diz que
\operatorname{tg}(x)+\operatorname{cotg}(x)=5
e pede o valor de
\operatorname{tg}^{2}(x)+\operatorname{cotg}^{2}(x).
O conteúdo aqui é usar manipulações algébricas em identidades trigonométricas. Para simplificar, definimos
t = \operatorname{tg}(x),
logo \operatorname{cotg}(x)=1/t, e reescreveremos tudo em termos de t.

Passo 2

A partir de
t + \frac{1}{t} = 5,
podemos obter t^{2}+\tfrac{1}{t^{2}} usando a identidade algébrica
\Bigl(t + \frac{1}{t}\Bigr)^{2} = t^{2} + 2 + \frac{1}{t^{2}}.
Isolando t^{2}+\tfrac{1}{t^{2}}, temos
t^{2} + \frac{1}{t^{2}} = \Bigl(t + \frac{1}{t}\Bigr)^{2} - 2.

Passo 3

Como t + \tfrac{1}{t}=5, substituímos na fórmula acima:
t^{2} + \frac{1}{t^{2}} = 5^{2} - 2 = 25 - 2 = 23.
Mas t=\operatorname{tg}(x) e \tfrac{1}{t}=\operatorname{cotg}(x), logo
\operatorname{tg}^{2}(x)+\operatorname{cotg}^{2}(x)=23.

Resposta

23

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