Nos exercícios a seguir, determine a derivada da função vetorial.
\vec{r}(t)=\left(\operatorname{sen} t, \sqrt{1-t^{2}}, 1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função vetorial em \mathbb{R}^3, \displaystyle \vec{r}(t)=\bigl(\sin t,\;\sqrt{1-t^{2}},\;1\bigr).
O conteúdo aqui é a derivação componente a componente usando a derivada de funções elementares e a regra da cadeia.

Passo 2

Para a primeira componente, que é \sin t, aplicamos a derivada de seno:
\frac{d}{dt}\bigl[\sin t\bigr]=\cos t.

Passo 3

Para a segunda componente, \sqrt{1-t^{2}}=(1-t^{2})^{\tfrac12}, usamos a regra da cadeia. Seja u(t)=1-t^{2}, então
\frac{d}{dt}\bigl[u(t)^{\tfrac12}\bigr] =\tfrac12\,u(t)^{-\tfrac12}\cdot u'(t) =\tfrac12\,(1-t^{2})^{-\tfrac12}\cdot(-2t) =-\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}},
válido para |t|<1.

Passo 4

A terceira componente é constante igual a 1, logo
\frac{d}{dt}[1]=0.

Passo 5

Juntando todas as derivadas componente a componente, obtemos
\vec{r}\,'(t) =\bigl(\cos t,\,-\tfrac{t}{\sqrt{1-t^{2}}},\,0\bigr).

Resposta

\vec{r}\,'(t) =\bigl(\cos t,\,-\tfrac{t}{\sqrt{1-t^{2}}},\,0\bigr).

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