Esboce o gráfico da curva r=2 \cos (\theta) de 0^{\circ} a 90^{\circ}, completando a tabela abaixo e calculando suas simetrías. Todos os cálculos devem estar na prova, (2,0)
\theta r x y
0^{\circ}
30^{\circ}
45^{\circ}
60^{\circ}
90^{\circ}

Passo 1

Estamos trabalhando com coordenadas polares e queremos esboçar a curva
r = 2\cos(\theta)
no intervalo \theta\in[0^\circ,90^\circ]. Para isso, vamos completar a tabela calculando r, depois converter para coordenadas cartesianas por
x = r\cos(\theta),\quad y = r\sin(\theta),
e em seguida identificar as simetrias da curva.

Passo 2

Calculamos linha a linha da tabela.
Para \theta=0^\circ:
r = 2\cos(0^\circ) = 2,
x = 2\cos(0^\circ) = 2,\quad y = 2\sin(0^\circ) = 0.
Para \theta=30^\circ:
r = 2\cos(30^\circ) = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3},
x = \sqrt{3}\cos(30^\circ) = \sqrt{3}\,\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2},\quad y = \sqrt{3}\sin(30^\circ) = \sqrt{3}\,\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Para \theta=45^\circ:
r = 2\cos(45^\circ) = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2},
x = \sqrt{2}\cos(45^\circ) = \sqrt{2}\,\frac{\sqrt{2}}{2} = 1,\quad y = \sqrt{2}\sin(45^\circ) = \sqrt{2}\,\frac{\sqrt{2}}{2} = 1.
Para \theta=60^\circ:
r = 2\cos(60^\circ) = 2\cdot\frac{1}{2} = 1,
x = 1\cos(60^\circ) = \frac{1}{2},\quad y = 1\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Para \theta=90^\circ:
r = 2\cos(90^\circ) = 0,
x = 0,\quad y = 0.
A tabela completa fica:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \theta & r & x & y\\\ \hline 0^\circ & 2 & 2 & 0\\\ \hline 30^\circ & \sqrt{3} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\\ \hline 45^\circ & \sqrt{2} & 1 & 1\\\ \hline 60^\circ & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\\ \hline 90^\circ & 0 & 0 & 0\\\ \hline \end{array}

Passo 3

Em coordenadas cartesianas a curva satisfaz
x^2 + y^2 = r^2 = 4\cos^2(\theta) \quad\text{e}\quad x = r\cos(\theta) = 2\cos^2(\theta),
logo
x^2 + y^2 = 2x,
que é o círculo de centro (1,0) e raio 1. No intervalo \theta\in[0^\circ,90^\circ] obtemos o arco que vai de (2,0) até a origem, passando pela primeira quadrante.

Passo 4

Para as simetrias usamos os testes em polares:
Para o eixo polar ( \theta=0):
r(-\theta) = 2\cos(-\theta) = 2\cos(\theta) = r(\theta),
logo a curva é simétrica em relação ao eixo x.
Para a reta \theta = \tfrac{\pi}{2}:
r(\pi - \theta) = 2\cos(\pi-\theta) = -2\cos(\theta) = -\,r(\theta),
o que indica simetria em relação à reta \theta=\tfrac{\pi}{2}.
Para o polo:
r(\theta+\pi) = 2\cos(\theta+\pi) = -2\cos(\theta) = -\,r(\theta),
mostrando simetria em relação ao polo.

Resposta

\theta=0^\circ: r =2, x =2, y =0\n \theta=30^\circ: r =\sqrt{3}, x =\frac{3}{2}, y =\frac{\sqrt{3}}{2}\n \theta=45^\circ: r =\sqrt{2}, x =1, y =1\n \theta=60^\circ: r =1, x =\frac{1}{2}, y =\frac{\sqrt{3}}{2}\n \theta=90^\circ: r =0, x =0, y =0 \n\nSimetrias: \n– em relação ao eixo polar ( x-axis) \n– em relação à reta \theta=\tfrac{\pi}{2} \n– em relação ao polo

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