Sobre o conteúdo de cônicas, determine:
As equações reduzidas e paramétricas da seção cônica de equação geral: 3 x^{2}-y^{2}-6 x-4 y-49=0. Através do cálculo da excentricidade defina que seção cônica é esta.

Passo 1

Temos a seção cônica dada pela equação geral
3x^{2}-y^{2}-6x-4y-49=0.
O objetivo é:
  1. Completar quadrados para encontrar a forma reduzida (canônica) da cônica.
  2. Calcular a excentricidade para identificá-la.
  3. Dar as equações paramétricas correspondentes.

Passo 2

Agrupando termos em x e em y e completando quadrados:
3x^{2}-6x\;-\;\bigl(y^{2}+4y\bigr)\;-\;49=0
escrevemos
3\bigl(x^{2}-2x\bigr)\;-\;\bigl(y^{2}+4y\bigr)=49.
Em x^{2}-2x adicionamos e subtraímos 1; em y^{2}+4y adicionamos e subtraímos 4:
3\bigl[(x-1)^{2}-1\bigr]\;-\;\bigl[(y+2)^{2}-4\bigr]=49.
Distribuindo e rearranjando termos constantes:
3(x-1)^{2}-3 \;-\;(y+2)^{2}+4 =49 \;\;\Longrightarrow\;\; 3(x-1)^{2}-(y+2)^{2}=48.

Passo 3

Dividindo por 48 para obter a forma reduzida padrão de hipérbole:
\frac{(x-1)^{2}}{16}\;-\;\frac{(y+2)^{2}}{48}=1,
onde identificamos
a^{2}=16,\quad b^{2}=48,\quad a=4,\quad b=4\sqrt{3}.

Passo 4

A excentricidade de uma hipérbole é
e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} =\sqrt{1+\frac{48}{16}} =\sqrt{4} =2.
Como e>1 e os sinais em x e y são opostos, trata-se de uma hipérbole com eixo transverso paralelo ao eixo x.

Passo 5

Duas parametrizações comuns são:
(a) Usando funções secante e tangente
x-1 = a\operatorname{sec} t =4\operatorname{sec} t, \qquad y+2 = b\tan t =4\sqrt{3}\,\tan t,
ou seja
x=1+4\operatorname{sec} t, \quad y=-2+4\sqrt{3}\tan t, \quad t\in \mathbb{R},\;t\neq\frac{\pi}{2}+k\pi.
(b) Usando funções hiperbólicas
x-1 = a\operatorname{cosh} u =4\operatorname{cosh} u, \qquad y+2 = b\operatorname{sinh} u =4\sqrt{3}\operatorname{sinh} u,
ou seja
x=1+4\operatorname{cosh} u, \quad y=-2+4\sqrt{3}\operatorname{sinh} u, \quad u\in\mathbb{R}.

Resposta

Forma reduzida:
\frac{(x-1)^{2}}{16}-\frac{(y+2)^{2}}{48}=1.
Excentricidade: \displaystyle e=2.
Tipo de cônica: hipérbole.
Equações paramétricas:
x=1+4\operatorname{sec} t,\; y=-2+4\sqrt{3}\tan t \quad\text{ou}\quad x=1+4\operatorname{cosh} u,\; y=-2+4\sqrt{3}\operatorname{sinh} u.

Exercícios relacionados