Sobre o conteúdo de cônicas, determine:
As equações reduzidas e paramétricas da seção cônica de equação geral:
. Através do cálculo da excentricidade defina que seção cônica é esta.
As equações reduzidas e paramétricas da seção cônica de equação geral:
Passo 1
Temos a seção cônica dada pela equação geral
O objetivo é:
- Completar quadrados para encontrar a forma reduzida (canônica) da cônica.
- Calcular a excentricidade para identificá-la.
- Dar as equações paramétricas correspondentes.
Passo 2
Agrupando termos em
e em
e completando quadrados:
escrevemos
Em
adicionamos e subtraímos
; em
adicionamos e subtraímos
:
Distribuindo e rearranjando termos constantes:
Passo 3
Dividindo por
para obter a forma reduzida padrão de hipérbole:
onde identificamos
Passo 4
A excentricidade de uma hipérbole é
Como
e os sinais em
e
são opostos, trata-se de uma hipérbole com eixo transverso paralelo ao eixo
.
Passo 5
Duas parametrizações comuns são:
(a) Usando funções secante e tangente
(a) Usando funções secante e tangente
ou seja
(b) Usando funções hiperbólicas
ou seja
Resposta
Forma reduzida:
Excentricidade:
.
Tipo de cônica: hipérbole.
Equações paramétricas:
Tipo de cônica: hipérbole.
Equações paramétricas: