Exercício 0.7. Calcule o determinante da matriz abaixo.
\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 6 & 5 & 4 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 6 & 5 & 4 & 3 \\[4pt] 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}
O conteúdo aqui é determinante de matriz de ordem 4. Vamos usar operações elementares de linha (adição de múltiplos de uma linha a outra), que não alteram o valor do determinante, para simplificar a matriz antes de expandir.]

Passo 2

Aplicamos as operações
\begin{cases} L_2 \leftarrow L_2 - 2\,L_1,\\\ L_3 \leftarrow L_3 - 6\,L_1,\\\ L_4 \leftarrow L_4 - 1\,L_1, \end{cases}
onde L_i é a i-ésima linha de A. Isso gera a matriz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & -1 & -2 & -3 \\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
Como usamos apenas adições de múltiplos de uma linha em outra, o determinante permanece o mesmo: \det A não se altera.]

Passo 3

Agora expandimos \det A pela primeira coluna. Como os elementos abaixo de a_{11}=1 são todos zero, temos
\det A = 1 \times \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[4pt] -1 & -2 & -3 \\[4pt] 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Na submatriz
B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[4pt] -1 & -2 & -3 \\[4pt] 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
as linhas 1 e 3 são idênticas. Quando uma matriz tem duas linhas iguais, seu determinante é zero. Logo,
\det B = 0
e, portanto,
\det A = 1 \times 0 = 0.]

Resposta

0

Exercícios relacionados