Exercício 0.7. Calcule o determinante da matriz abaixo. \operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 6 & 5 & 4 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right) Passo 1O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 6 & 5 & 4 & 3 \\[4pt] 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} O conteúdo aqui é determinante de matriz de ordem 4. Vamos usar operações elementares de linha (adição de múltiplos de uma linha a outra), que não alteram o valor do determinante, para simplificar a matriz antes de expandir.] Passo 2Aplicamos as operações \begin{cases} L_2 \leftarrow L_2 - 2\,L_1,\\\ L_3 \leftarrow L_3 - 6\,L_1,\\\ L_4 \leftarrow L_4 - 1\,L_1, \end{cases} onde L_i é a i-ésima linha de A. Isso gera a matriz \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & -1 & -2 & -3 \\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} Como usamos apenas adições de múltiplos de uma linha em outra, o determinante permanece o mesmo: \det A não se altera.] Passo 3Agora expandimos \det A pela primeira coluna. Como os elementos abaixo de a_{11}=1 são todos zero, temos \det A = 1 \times \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[4pt] -1 & -2 & -3 \\[4pt] 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.] Passo 4Na submatriz B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[4pt] -1 & -2 & -3 \\[4pt] 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} as linhas 1 e 3 são idênticas. Quando uma matriz tem duas linhas iguais, seu determinante é zero. Logo, \det B = 0 e, portanto, \det A = 1 \times 0 = 0.] Resposta 0 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosExercício 0.6. Considere as seguintes equações paramétricas das retas abaixo. Reta 1: \left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right) \quad Reta 2: \left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right)+x\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right). Encontre a interseção delas se existir. Exercício 0.5. Seja A_{n \times n} e R_{n \times n} matrizes, onde R é invertível. Mostre que \left(R A R^{-1}\right)^{2}=R A^{2} R^{-1} Scja A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & a^{2} & 1\end{array}\right], onde a \in \mathbb{R}. (a) (1,0 ponto) Para a=2, calcule a inversa de A. (b) ( 1,5 ponto) Mostre que A é invertível se, e somente se, a \neq 1 e a \neq-1. Esboce o gráfico da curva r=2 \cos (\theta) de 0^{\circ} a 90^{\circ}, completando a tabela abaixo e calculando suas simetrías. Todos os cálculos devem estar na prova, (2,0) \theta r x y 0^{\circ} 30^{\circ} 45^{\circ} 60^{\circ} 90^{\circ}